8.1 簡介

上一章己經向大家介紹過了在週期位的位勢之下，單電子模型所滿足的波函數可以用 Bloch 定理整理出更簡化的形式（並且也增加了波向量 k 這個重要的新指標）。在我們真正採用基於 Bloch 定理所寫下的物理定律之一般形式（如 p.158 之 (7.14) 式）來進行數學問題的求解之前，在本章先來看看在一些極簡單的近似下，就己經能告訴我們其解有些什麼樣的重要特徵。派洛在 1930 年就提出了 近乎自由電子 的近似。其中不但電子不感受到其他電子的庫倫力，連來自原子核的庫倫位勢也視作是零，整個作法似乎是簡化得過度了。然而，後來高德在 1958 年進行的一些早期的金屬費米面的結果確顯示，費米面是由球體的斷面所構成，而近乎自由電子之費米面結果正是具有這樣的形狀。派洛這種最粗糙的近似竟然神奇地預測了金屬的費米面。

即便在近乎自由近似之前的 1928 年 Bloch 就曾經把電子想像成是被緊緊地束縛在原子中心附近，只有與鄰近原子的電子有有微小的重疊。既然電子絕大部分被束縛在原子周圍，因此以局域化的原子軌域來描述個別的單電子是合理的近似，至於在固體內的波函數則是由各個原子位置上的原子軌域作線性組合而得。本章中作者藉著介紹 Waniner 在 1937 年所引入的

的原子大部的

這個所謂的緊束縛近似

 

8.2 近乎自由電子

注意 (8.3) 是會發生的，在 k= K/2 時或更廣義地看 <- (8.1)，就會發生。因此 (8.15) 或 (8.14) 中會發生 E0k = E0k+K，即 (8.16)，並不奇怪的。

8.3 布里淵區

對於在非常弱位勢之下的電子，其能量在 k 空間中到處都近似於自由電子，故很方便而自然地就採用 extended zone scheme，而只用舉一個指標 k（沒有 n）。然而，在這種指標定法下，能帶在 (8.1) 條件（即相當於 (8.3) 條件）發生時就會發生不連續。為了解此一結果的意涵，我們可以把 (8.1) 改寫成 (8.25) k=1/2 K。所有滿足 (8.25) 式的點會構成一個平面，該平面垂直於原點到 K 的連線並將之等分。跨過此一面的點就與 K 較近而與原點較遠。為所有可能之 K 建構這種面就會把原點包圍住．個實體的區域之內。這個範圍恰好正是原點在反空間中的 Winger-Seitz cell，也就是第一布里淵區，因為所此範圍內的點都最接近原點的點。

大家可以看圖 Fig 8.2 的範圍，這是一個二維 centered-rectangular 格子的例子。若從原點沿某直線出發，一路會一一跨越通過式子 (8.25) 會成立的直線，當通過了 n 條線後，那點就會比起原點有n-1個 K 點是更近的。第 n BZ 的定義，就是一組反空間中的點，與它的距離原點的遠近比起來，還有 n-1 個 K 的距離較之更近。（例如 n=1，則 n-1= 0，沒有其他 k 與 K 的距離會比 k 與原點更近了。）

第 n BZ形狀可能很複雜，但體積都會一樣（等於第一 BZ）。理由是，若把反空間格子以反空間格子向量 K 作平移，則新的第 n BZ 之內部不可能與舊的有重疊。

補充資料：Harrison Constrction and Fermi Surfaces (http://phycomp.technion.ac.il/~nika/fermi_surfaces.html)