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¡]¤G¡^¨Ï¥Î¶q¤l¤O¾Ç¡]¤~¯à¥¿½T´yz¹q¤l¦æ¬°¥H¤Î¥Ñ¨ä©Ò¨M©wªº¾÷±ñ¡B¶Ç¿é¡B¥ú¾Ç¡BºÏ¾Çµ¥©Ê½è¡^
¤]´N¬O»¡¡Aì¤l¤§¶¡ªº§@¥Î¤O¥H¤Î§÷®Æ©Òªí²{ªºª«©Ê¡A§Ú̳£§Æ±æ¯à¡]¤£É§U¹êÅçµ²ªG¡^³z¹L²Ä¤@ì²z¤èªk¨Ó¹F¨ì¡C
±K«×ªx¨ç²z½× »P ³æ¤@²É¤lÁ§¤B®æ¤èµ{¦¡
¤@ÓéwºA¡]»P®É¶¡µLÃö¡^ªº³æ¤@²É¤lÁ§¤B®æ¤èµ{¦¡¥iªí¥Ü¬°¤@Ó¥»¼xȰÝÃD¡]¼È²¤°Ê¯à¶µªº
h/2m¡^¡A
H Y(r) = E Y(r)
[-¡¾2 + V] Y(r) = E Y(r)
¦hÅé¶q¤l¨t²Î ¡]¦pÂù¹q¤lªºÁ§¤B®æ¤èµ{¦¡¡^¡G
¡e-¡¾12 - ¡¾22 + V(r1, r2)¡fY(r1, r2) = E Y(r1, r2)
¦b´¶¹Mªºª¬ªp¤U¡AV(r1, r2) ùتº r1,
r2 ¬OµLªk¤ÀÂ÷Åܼƪº¡A¦]¦¹¡A§Y«K²³æ¦pÂù¹q¤lªºÁ§¤B®æ¤èµ{¦¡´N¤v¸g¨S¦³¸ÑªR¸Ñ¤F¡C¦Ó¥ô¦óªºpºâ§÷®Æªº¶q¤l¤O¾Ç°ÝÃD¡A³£»Ýn³B²z¤j¶q¼Æ¥Øªº¹q¤l¡C
±K«×ªx¨ç²z½×¡]Density Functional Theory¡GDFT¡^
¶q¤l¤O¾Ç§i¶D§ÚÌ¥unª¾¹DÁ`ªi¨ç¼Æ«K¥i¥H¨M©w¨t²ÎªºÁ`¯à¶q
E[Y(r1, r2, r3, ..., rN)]
¦Ó Hohenberg ¤Î Kohn «hÃÒ©ú¤F¦hÅé¨t²Î°òºAªº¨âÓ«n©Ê½è¡Aºc¦¨©Ò¿×ªº Hohenberg-Kohn ©w²z¡C¥¦¦³¨âÓ¥Dn³¯z¡A¦p¤U¡G
º¥ý¡]³¯z¤@¡^¡A°òºAªºÁ`¯à¥i¥H¼g¦¨¬O¹q²ü±K«×ªºªx¨ç¡A¤]´N¬O»¡¡A¦s¦b
EG.S.[Y(r1, r2, r3, ..., rN)] ¡÷ EG.S.[r(r)]
³o¼Ëªº¹ïÀ³Ãö«Y¡C¦p¦¹·íµM¤j¤j¦a²¤Æ¤F¨D°òºAÁ`¯à°ÝÃDªº¦Û¥Ñ«×¡C
¨ä¦¸¡]³¯z¤G¡^¡AY±N¤£¬O°òºAªº¹q²ü±K«× r(r) ¥N¤J¡A¤@©w·|¾ÉP EG.S.[r(r)] ¡Ù EG.S.[rG.S.(r)] ¡A¤]´N¬O»¡¡A¸ÓÁ`¯àªº¹q²ü±K«×ªx¨ç EG.S.[r(r)] º¡¨¬ÅܤÀ¾Çì²z¡C
§Q¥Î¤Wz©Ê½è¡A§ÚÌ·|·Q§Q¥Î¦UºØ¤èªk²q´ú r(r)¨Ã¥N¤J EG.S.[r(r)] ¨DÈ¡A¥un¤@ª½¸Õ¨ì²£¥Í³Ì§Cªº¯à¶q¡A«h¸Ó¯à¶q«OÃÒ¬O°òºAªºÁ`¯à¡A¥B¸Ó¹q²ü¤À§G«OÃÒ¬O°òºAªº¹q²ü±K«×¤À§G¡C
¦b¦¹n´£¿ô¤j®a¡A§Y¨Ï¥u¬OÀò±o°òºA¡A³£¤w¸g¨¬¥H¹w´ú«Ü¦h©Ê½è¤F¡C¨Ò¦p¡A¤À¤lªºÁäªø¡A®¶°ÊÀW²v¡A©TÅ骺´¹MÃäªø¡B¼u©Ê«Y¼Æ±i¶q¡A¬Æ¦Ü¬O¤Æ¾ÇÁ䪺Â_µõ©Î¬O¥Í¦¨¡A¹ï¹q¤l¦Ó¨¥³£¬O°òºAªº©Ê½è¡C¦]¦¹¡A¯à¹w´ú¨t²Îªº°òºA¬O«D±`¦³¥Îªº¡C
¤Ñ¤U¨S¦³¥Õ¦Yªº¤ÈÀ\¡A±K«×ªx¨ç²z½×¡]©Î»¡ H-K ²z½×¡^¥uÃÒ©ú¤F EG.S.[r(r)]
¦s¦b¡A«o¨Ã¥¼µ¹¥X©ú½Tªº§Î¦¡©Î¤½¦¡¡C§Ú̦]¦¹¥u¯à¼g¤U EG.S.[r(r)]
ªºªñ¦ü¡A¦b±N¤§¤À¶}¦¨°Ê¯à»P¦ì¯à¨âÓ³¡¤À EG.S.[r(r)]
= TG.S.[r(r)] + UG.S.[r(r)]
ªº±¡ªp¤U¡A¨ä¤¤¥ÑÁ`¹q²ü±K«× r(r) n±o¨ì¦ì¯à UG.S.[r(r)]
¤ñ¸û®e©ö¡A®wÛ©w«ß§i³\§Ṳ́@Ó¹q²ü¤À§G¦bªÅ¶¡¤¤·|«Ø¥ß«ç»ò¼ËªºÀR¹q¦ì¶Õ¡FµM¦Ó¦P¼Ëµ¹©w¹q²ü¤À§G¦bªÅ¶¡¶¡ªº¨ç¼Æ¡A«o¨S¦³¤°»òª«²z©w«ß¯àºë½T§i³\§Ṵ́òºAªºÁ`°Ê¯à
TG.S.[r(r)] ¡C¨ä¹ê¡Aª«²z¾Ç®a¦b§ó¦´N¤w¸g¸Õ¹Ïªñ¦ü³o¤@¶µ¡A¹³´öº¿¤h¡X¶O¦Ì¼Ò«¬¡A¨ä°Ê¯àªx¨ç
T[r] ¨Ï¥Î¦Û¥Ñ¹q¤l®ðªº kF = (2/3)
r(1/3)
¡A¦A³z¹L kF2¨ÓÀò±o¤@Ó²ÊÁWªº°Ê¯àÈ¡C¦p¦¹¡AÁ`ºâ¬O¦³¤@Ó©ú½Tªºªx¨ç¥i¥H§â
r(r)
¥N¶i¥h¨DÈ¡CµM¦Ó¡A¥¦¹ï§÷®Æª«©Êªº¹w´ú¤W¨Ã¤£²z·Q¡C
Kohn-Sham ¤èªk
¡]I¡G°Ê¯àªx¨ç»P Kohn-Sham y°ì¡^
¤@Ó¦h¹q¤l¨t²Îªº°òºAÁ`¯àªx¨ç¡Aì¥i¥H¬Ý¦¨¥Ñ¥H¤U¤T¶µªx¨ç©Òºc¦¨¡G
E[r] = Tm[r] + Eee[r] + Eext[r]
¨ä¤¤ Tm[r] ¬O°Ê¯à¡A¬Û·í©ó ¡qY(r1,r2,...) | 1/2 Si ¡¾i2 | Y(r1,r2,...)¡r ¨ä±K«×ªx¨çªº§Î¦¡¬O¥¼ª¾¡FEee[r] ¬O¹q¤l¹ï¹q¤l¥æ¤¬§@¥Î¯à¡A¬Û·í©ó ¡qY(r1,r2,...) | Sij 1 / |ri-rj| | Y(r1,r2,...)¡r ¬G¨ä±K«×ªx¨çªº§Î¦¡¤]¬O¥¼ª¾¡F¦Ü©ó¦Ó Eext[r] «h¬O¥~¬É¬I¥[¤§¦ì¶Õ¦¹²É¤l±K«×¤À§G©ÒÀò±o¤§¯à¶q¡A¬Û·í©ó ¡ìVext(r) r(r) d3r¡A¨ä¤¤ Vext(r) ¨ÌÓ§O°ÝÃD¦Óµ¹©w¡A¬G¦¹¶µªx¨ç¤§§Î¦¡¬°¤vª¾¡C
Kohn »P Sham °w¹ï Tm[r] »P Eee[r] ùØ¡Aª«²z¾Ç®a¤v¸gª¾¹D¦³¤½¦¡¥i´yzªº®ÄÀ³³¡¤À¡A©âÂ÷¥X¤F¦U²É¤l¦b¿W¦Û¹B°Ê®ÉªºÁ`°Ê¯à Ts[r] ¡A¥H¤Î¥j¨åÀR¹q¤À§Gªº®wÛ¦ì¯à EH[r] ¡A¦Ü©ó Tm[r] »P Eee[r] ³Ñ¤Uªº³¡¤À¡A«h¦X¨Ö¦b¤@°_ºÙ¬°¥æ´«¬Û¤z¯à Exc[r] ¡C
E[r] = Ts[r] + Exc[r] + EH[r] + Eext[r]
¦p¦¹¤@¨Ó¡A°£¤F Exc[r] ¤§¥~¡A¦Uªx¨ç¶µ´N³£¦³©ú½Tªº¤½¦¡¥i¥Î¤F¡A¨ä¤¤ Ts[r] ªº³¡¤À¬O
Ts[r] = 1/2 Si¡ìYi*(r) ¡¾2 Yi(r) d3r
¨ä¤¤
r(r) = Si |Yi(r)|2
¨Ã¥²¶·º¡¨¬Âk¤@¤Æ±ø¥ó
N = ¡ìr(r) dr = Si¡ìYi*(r) Yi(r) d3r
ª`·N³oùةҼg¥Xªº Yi(r) ¬O³æ¿W²É¤lªºªi¨ç¼Æ¡A¤£¬O¥ý«e©Ò©w¸qªº¨t²ÎÁ`ªi¨ç¼Æ
Y(r1, r2, r3,
..., rN)¡A³o¨Ç Yi(r) ¤S³QºÙ§@¬O
Kohn-Sham y°ì¡CH-K ©w²z©ñ±ó¨Ï¥ÎÁ`ªi¨ç¼Æ§@¦ÛÅܼƨӨÏÁ`¯àªx¨ç²¤Æ¡A¦ý K-S
¤èªk¬°¤F¨D±o¸ûºë½Tªº°Ê¯à¤S¤Þ¤J³æ²É¤lªi¨ç¼Æ©ó°Ê¯àªx¨ç¤¤¡]²¦³º¥Î¶O¦Ì°Ê¶q¨Óªñ¦ü°Ê¯à»~®t¤Ó¤j¤F¡^¡A¥i»¡¬O¤@ºØ¥H°h¬°¶iªºµ¦²¤¡C
¡]II¡G¥æ´«¬Û¤z¯àªº§½°ì±K«×ªñ¦ü¡^
¥t¥~¡A¥j¨åÀR¹q¦ì¯à EH[r] ªº³¡¤À«h¬O¡G
EH[r] = ¡ìr(r') r(r) / |r' - r| d3r' d3r = ¡ìVH(r) r(r) d3r
¨ä¤¤ VH(r) = ¡ìr(r') / |r' - r| d3r' ¡AºÙ§@ Hatree energy¡A¬O§Ú̼ô±xªºÀR¹q®wÛ¦ì¶Õ¡C³Ì²³æªº«h¬O¥~¥[¦ì¶Õ¼vÅT¤Uªº¦ì¯à¡A¨ä¹q²ü±K«×ªºªx¨ç¥i¼g¬°
Eext[r] = ¡ìVext(r) r(r) d3r
³Ì«á¡A§Y«K¤£ª¾¹D¤½¦¡ªº±¡ªp¤U¡A§Ṳ́@¼Ë¥i¥H©w¸qÃþ¦ü¦ì¶Õªº exc[r(r)]¡]exchange-correlation energy per particle¡^¡A¦p¤U¡G
Exc[r] ¡Ý ¡ìexc[r(r)] r(r) d3r
¦b¦¹ exc[r(r)] ¤´¬O¥¼ª¾ªº¡AKohn-Sham ¤èªkùتº²Ä¤G¤j«ÂI¡A´N¬O°w¹ï¥æ´«¬Û¤z®ÄÀ³¥[¥Hªñ¦ü¡A
exc[ r(r) ] ¡q¥¼ª¾¡r ¡ã excLDA( r(r) ) ¡qªñ¦ü¡r
±qªx¨ç¡]¨ç¼Æªº¨ç¼Æ¡^ªñ¦ü¦¨´¶³qªº¨ç¼Æ
³o¬Û·í©ó¦bÁ¿¡A쥻»Ýnª¾¹D¾ãÓ r(r) ¨ç¼Æ¤À§G¤~ª¾¹DªÅ¶¡¤¤¦UÂIªº exc ¤j¤p¡A²{¦bªñ¦ü¦¨¥unµ¹©w¦ì¸m r0¡A¥N¤J r(r) ±o¨ì¸Ó¦ì¸mªº r0¡A´N¥i¥H±o¨ì¸Ó¦ì¸mªº excLDA È¡C¤]´N¬O»¡¡A exc ¤j¤p¥u¸ò¨ºÓ¦ì¸mªº¹q²ü±K«×¤j¤p¦³Ãö¡A¦]¦¹³Q¥s§@¬O§½°ì±K«×ªñ¦ü¡]Local Density Approximation¡^¡A²ºÙ LDA¡C
¤j®a¥i¯à·|·Q¨ì¡A¬JµM exc[ r(r)
] ¬O¥¼ª¾¡A¨º excLDA(
r(r) ) ¤@¼Ë¤]¬O¥¼ª¾¡A¦¹¤@°ÝÃDªº¸Ñ¨M¡A¬O³z¹L¡]¥H¶q¤l»X¦a¥dù¤èªk¡^pºâ¦UºØ¤£¦P±K«×
r ¤§¤Uªº§¡¤Ã¹q¤l®ðÅ骺°òºAÁ`¯à¡A§Y«ez¤§ E[r(r)]
¡]§¡¤Ã¹q¤l®ðÅ骺°òºA¹q²ü¤À§G¤]¬O§¡¤Ãªº¡A¬G r
¬O±`¼Æ¨ç¼Æ¡^¡C±o E[r] ¤§«á¡A´î¥h¥i¥Ñ±K«×¨D±o¤§Ts[r]
¡BEH[r] ¡B¤Î Eext[r]
¡A³Ñ¤Uªº§Y¬O Exc[r]¡C¦p¦¹¡A¤£¦P±`¼Æ
r ȩҹïÀ³¤§ Exc[r]
©ó¬O«Ø¥ß¡A¦n¹³¬O¬dªíªº°Ê§@¡A¹ê¥Î¤W«h¬OÀÀ¦X¦¨¤@ӰѼƦ¡¡C³o¼Ë¤@¨Ó¡AÁ`¯àªx¨çªº¨C¤@¶µ´N³£¦³©ú½Tªº¤½¦¡¡A§Ṳ́]´N¥i¥H°w¹ï¤£¦P
Vext(r) ¨Ó²q r(r) ¨D·¥¤p¡]°òºA¡^¤F¡C
¡]III¡Gªx¨ç·L¤À¨D®Ú¤Î Kohn-Sham ¤èµ{¦¡¡^
²{¦b¡A§ÚÌn°Ý¤°»ò¼Ëªº r(r)¡]¤]´N¬O»¡ {Yi(r), i=1,2,...,N}¡^·|¨Ï E[r(r)] ³Ì¤p¡]«h r(r) ´N¬O°òºAªº¹q²ü¤À§G¡A¥B E[r(r)] ´N·|¬O°òºA¯à¶q¡^¡CÀH«K¶Ã²q¤£¨£±o¯à±o¨ì³Ì¤p¡A¦a´à¦¡·j¯Á¤]Ãø«O¨S¦³¿ò¯]¤§¾Ñ¡C¦^·Q¦b¼Æ¾Ç¤W·Qª¾¹D¤°»ò¼Ëªº x È·|Åý¨ç¼Æ f(x) ³Ì¤p®É¡A³Ì¤è«Kªº¤èªk´N¬OÅé»{¨ì¨ç¼Æ¦b¨ä·¥È®É¨ä±×²v¬°¹s¡]·íµM§Ú̽ͪº¥²¶·¬O¥·Æ¨ç¼Æ¡^¡C§ÚÌ·|±N¨ä¤@¶¥¾É¼Æ f'(x) ¥O¬°¹s¨Ó¨D¸Ñ x¡C
¦b¦¹§ÚÌn°w¹ïÁ`¯àªx¨ç§ä·¥¤p¡A¥Îªº¤]¬O¥O±×²v¬°¹s¨D¸Ñªºµ¦²¤¡A¥u¤£¹Lªx¨ç¨D¾É¼Æ¤ñ¤@¯ë¨ç¼Æ¨D¾É¼Æµy·L½ÆÂø¤@ÂI¡A¨ä¹ê°ò¥»ªºì²z¬O¤@¼Ëªº¡Cªx¨ç·L¤Àªº¤½¦¡¤ÎÃÒ©ú¥i¨£©ó¤@¯ëªx¨ç·L¿n¤À©Î¬Oª«²z¼Æ¾Ç¤¤ªºÅܤÀ¾Ç³¹¸`¡A¦b¦¹§ÚÌ·|¥Î¨ìªº§Î¦¡«ê¦n¬O³Ì²³æªº§Î¦¡¡A¥i¦P¡§¥h±¼¿n¤À¡A¨ç¼Æ¤Ö¤@Ó¡¨¤f³Z¨Ó®M¥Î¡C
°w¹ï E[r(r)] ¤¤ªº¦U¶µ¡A¹ï Yi*(r) ÅܤÀªºµ²ªG¡A¦p¤U¡G¡] Yi(r) ¬O½Æ¼ÆÈ¨ç¼Æ¡A¬Û·í©ó a(r) + b(r) i ¡A¦³¨âӦۥѫסA¦]¦¹¤]¥i¥H¤è«K¦a§â Yi*(r) »P Yi(r) ¬Ý¦¨¬O¨âÓ¿W¥ß¨ç¼Æ¡^
d Ts[r] / d Yi*(r) = 1/2 ¡¾2 Yi(r)
d EH[r] / d Yi*(r) = VH(r) Yi(r)
d Eext[r] / d Yi*(r) = Vext(r) Yi(r)
d Exc[r]
/ d Yi*(r)
= {d Exc[r]
/ d r } {dr
/ d Yi*(r)}
¡Ý Vxc(r) Yi(r)
¨ä¹ê¡AÁ`¯à§ä·¥¤pªº°ÝÃD¬Û·í©ó¬O¦b¦³¬ù¨î±ø¥ó¡]constraint¡^¤Uªº·¥¤p¤Æ°ÝÃD¡A¦]¦¹¥²¶·°O±o§â¬ù¨î±ø¥óªº³¡¤À¥H Lagrange Multiplier ªº¤è¦¡¤Þ¤J¡]¦^¾Ð°µ¤O¾Ç²ßÃD®É¡A¦Û¥Ñ¸¨Åé»Pªu±×±¤U·Æ¤§ª«Åé¨âºØª¬ªp¨ä¨D§@¥Î¶q¤§³Ì¤p®Éªº§@ªk¤£¦P¡^¡C¦b¦¹°ÝÃD¤¤¬ù¨î±ø¥ó¬O¤°»ò©O¡H´N¬Oªi¨ç¼ÆªºÂk¤@¤Æ±ø¥ó N = ¡ìr(r) dr = Si¡ìYi*(r) Yi(r) d3r¡C¦]¦¹¡A¦b¥Î¤W¤F Lagrange Multiplier l ªº±¡ªp¤U¡G
d lN / d Yi*(r) = l Yi(r)
ºî¦X¤W¦¡¦U¶µ¡A¥O±×²vµ¥©ó¹s¡A¨Ã±N l = - Ei¡A«h±o
[H - Ei] Yi
= [1/2¡¾2 + VH + Vext +
Vxc - Ei] Yi
= [1/2 ¡¾2 + ¡ìr(r')
/ |r' - r| d3r' + Vext + Vxc - Ei]
Yi : = 0
³o¬O¤@Ó·L¤À¤èµ{¦¡«¬ªº¥»¼xȰÝÃD¡A¥i¨D¸Ñ¦UÓ Ei ¤Î Yi ¡C³q±`¦b¼ÆÈ¨D¸Ñ¶q¤l¤O¾Ç°ÝÃDªº³õ¦X¡A¬O¥Î¦³Ó¥¿¥æ°ò©³¨ç¼Æ®i¶}ªi¨ç¼Æ Yi¡]®i¶}¤§«Y¼Æ¦V¶q¬° yi¡^¡A§â즡¤Æ¬°¤@Ó¯x°}¤èµ{¦¡°ÝÃD¡A§Y
§O§Ñ¤F¦b [H] ¤§¤¤¦³¦n´XºØ¦ì¶Õ³£¬O r ªº¨ç¼Æ¡A¦b¤@¶}©l©|¥¼ª¾¹D¦U Yi
®É¡A¥¿½Tªº r ¤]¬OµL±q±oª¾¡A¥²¶·¥ý²q¤@²Õ Yi(1)
¨ÓÀò±o r(1)¡A¸Ñ¥X Yi(2)
«á¦A¦AÀò±o r(2)¡A¤@ª½°µ¨ì r(n)
= r(n+1) ¬°¤î¡A³o¥s§@¦Û¬¢³õ¡]Self Consistant Feild : SCF¡^pºâ¡C¥¿¦]¬°¤@¶}©l
r¡]¤]´N¬O»¡ [H]¡^¤£¤@©w¬O¹ïªº¡A¦]¦¹³Ì¦nÁ×§K¦b³oºØ±¡ªp¤U¶i¦æ¹Bºâ¥N»ù¸û°ªªº¯x°}¹ï¨¤¤Æ¡A¦Ó¬O¨Ï¥Î¡¥N·¥¤p¤Æ¡]Iterative
Minimisation¡^ ¸û¦³®Ä²v¡C
¦]¬°¬O°òºA¡A§ÚÌ©Òn¨D¸Ñªº³o¤@²Õ Kohn-Sham ªi¨ç¼Æ¡A±N¨ÏªºÁ`¯àªº´Á±æÈ¹F¨ì³Ì¤p¡C«e±½Í¨ìn¥ý²q´ú¤@²Õªì©lªº Kohn-Sham ªi¨ç¼Æ¦A¶}©l¸Ñ¦ÛËϳõªº°ÝÃD¡A·íµM¬O·¥µL¥i¯à¤@¶}©l«K²q¤¤¨ä¸Ñ¡A©Ò©¯¡A§Y¨Ï¨S¦³²q¨ì¡AKohn-Sham ¤èµ{ªº Hamiltonian ¤]·|Åý§Ú̱o¨ì¥Hªi¨ç¼Æ¬°¦ÛÅܼƱ¡ªp¤U¤§Á`¯àªx¨çªº±×²v¡A³o¤D¬O¦]¬° d E[r] / d Yi*(r) ¨ã¦³±×²vªº·N¸q¡C¦]¦¹¡A¤@ºØ«Ü¦³®Äªº¤èªk¬O§â H Yi ¬Ý¦¨¬O±è«×¡A«ü¤Þ¥X¦bªi¨ç¼Æªº²ÕºAªÅ¶¡¤¤ Yi n¦p¦ó§ïÅÜ¡A¤~¯àÁͦV¨ÏÁ`¯à¶q³Ì¤pªºªi¨ç¼Æ¡C¦b¦¹¨S¦³¬Ý¨ì¨Ó¦Û¬ù¨î±ø¥óªº E Yi¡A³o¬O¦]¬°¦b¼ÆÈ¹Bºâªº¹Lµ{¤¤¡A§ÚÌ¥i¥H³z¹L¤£Â_¦a¶i¦æÂk¤@¤Æ¡A©ú½T¦a½á¤©ªi¨ç¼Æº¡¨¬Âk¤@©Ê«OÃÒ¡A¬G Lagrange ¥¼©w¼¤l¡]§Y E¡^¤£¥²¥X²{¦b³oÓ§ä·¥¤pªº¼ÆÈ°ÝÃD¤¤¡C
±o¨ì±è«×¤è¦V«á¡Aªu¸Ó¤è¦V¸Õ§@¤£¦P¨B´Tªº Yi ×¥¿¥B¤ñ¸û¯à¶q¡A¿ï©w¨Ï¯à¶q¯à°¨ì³Ì§Cªº¨B´T¤§«á¡A§âªi¨ç¼Æ§ó·s¨ì³oÓ·sªºÈ¡A¦A§ä·sªº±è«×¡A¦p¦¹©P¦Ó½Æ©l¡A¦p¤U¹Ï
Steepest Decent ©Ò¥Ü¡Aµ{¦¡¥i¥H¤@¨B¤@¨B§ä¨ì¯à¶q·¥¤p³Bªº {Yi}¡C
³Ì§Ö¤U°ªk »P ¦@³m±è«×ªk
¥u¾a±è«×ªº³Ì³t¤U°ªk·í¦b¹J¨ì¯Uªøªº¯à¶q¦a§Î®É¡A®e©ö³y¦¨·j´M¤è¦¡¦b¤s¾À¨âÃä¨Ó¦^®¶Àú¡A¦p¤W¹Ï©Ò¥Ü¡C§Ṳ́]¥i¥H¬Ý¥X¨â¦¸ªº±è«×¤è¦V¤§¶¡¥²©w§Î¦¨ª½¨¤¡A·|¶O¤@ÂIµê¥\¡Aµø°ÝÃDªº¥»½è¦Ó©w¡]Y¯à¶q¦a§Î¬°¦P¤ß¶ê¡A«h§Y¨Ï±è«×¤è¦V¤]¯à¤@¦¸©R¤¤¡^¡C¦@³m±è«×·|°Ñ¦Ò«e¤@¨Bªº¤è¦V¦ÓÁ×§K¨«ª½¨¤¡A¨ãÅé¦Ó¨¥¡A¦@³m¹ï©ó¤@Ó²z·Qªº
N ºû©ßª«±¡A¥un N ¦¸·j´M«K¥i¥H©R¤¤¥Ø¼Ð¡]¨£¤W¹Ï¨Ò¡A¤Gºû©ßª«±¥u»Ýn¨â¦¸¡C¸Ô¨£ Numerical Recipes¡^¡C¦]¦¹¦b¤v¸g§Ö±µªñ³Ì§CÂIªº®ÉÔ¡A¨ºùتº¯à¶q¦a§Î·|¦]¶V±µªñ©ßª«±¦Ó¦¬ÀĮĪG¶V¦n¡C
¹w¥ý½Õ¸`¡]Preconditioning¡^
ºâ²Å H ·|§@¥Î¦b¤£¦Pªº Kohn-Sham ªi¨ç¼Æ Yi ¦Ó±o¨ì¸Óªi¨ç¼Æ©ÒÀ³¹ïÀ³¨ìªº±è«×¤è¦V¡CµM¦Ó¡AH ¨ã¦³¯à¶qªºª«²z·N¸q¡A¦]¦¹¡]¯à±a¡^«ü¼Ð i ¸û°ªªººA¨ä±è«×·|³Q¤£¤½¥¦a©ñ¤j¡A¦¹°ÝÃD¥i³z¹L¹w¥ý½Õ¸`ªº§Þ¥©¾¨¥i¯à½Õ¾ã¦¨§¡¤Ã¡C¤U¹Ï dY ¤Uª½±Æ½bÀYªí¥Ü¦U¯à±a i ¤§ªi¨ç¼Æ»P°òºAªi¨ç¼Æ¡]°²³]ª¾¹D¡^¤§»~®t¡A¦Uy°ì³Q H §@¥Î«á±o z¡A¦b½Õ¸`¹L«á¡A¬° h¡A¥i¨£Y¥H h ¥h×¥¿ Y¡A´N·|Åý¤U¤@´`Àôªº dY «Ü¤p¡C¦p¦¹±N´£ª@§ä·¥¤pªº®Ä¯à¡C
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Hellman-Feynman ©w²z§i¶D§ÚÌ
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¨Ï¥Î°ò©³®i¶}ªi¨ç¼Æ¤§«á¡A«e±ªº Kohn-Sham ¤èµ{´N±q·L¤À¤èµ{¦¡ªº«¬ºAÂà´«¦¨¯x°}µ{¦¡ªº«¬ºA¡C
¦Ó§êºt±è«×ºâ²Å¨¤¦âªº Hamiltonian ¦b³oºØªí¶H¤§¤U´N¥H¯x°}«¬¦¡¥X²{¡CµM¦Ó°Ê¯à¯x°}¦b˪Ŷ¡¬O¹ï¨¤¤Æ¡A¦Ü©ó¦ì¯à¯x°}«h¦b¹êªÅ¶¡¬O¹ï¨¤¤Æ¡A
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Car »P Parrinello ´£¥X [PRL 55, 2471 (1985)]¡A¦¨´N¤F°ª®Ä²v»Pºë½T«×¡A¥H±K«×ªx¨ç²z½×¬°°ò¦ªº¶q¤l¤O¾Ç§÷®Æpºâªº®É¥N©ó¬O®i¶}¡CKohn
¤]Àò¹{ 1998 ¦~¿Õ¨©º¸¤Æ¾Ç¼ú¡]Kohn ¥»¤H¬O²z½×ª«²z¾Ç®a¡^¡C