何謂能量（力學能）
（因為無法說明，所以要有定律。沒有答案，只好定律。）
動、力、位勢、能量
等價的替代
貨幣的思考
看得見，模得到的比較容易
運動
看見、摸著
寒武紀大爆發
（為什麼多一種感官，會讓生態系多樣化增加？想想生物圈海洋、陸地、天空的維度增加，對物種帶來的效應。）
伽利略
慣性
大球小球
克卜勒
從老師第谷多年的資料歸納
三大行星定律（一、橢圓；二、等面積速率；三、週期）
牛頓
平方反比率的軌道，哈雷的劍橋行，催生者
牛頓－伽利略時空間（處處固定的時間流，所以可以談這個瞬間的）
速度是什麼？
(1) 下次看時已走遠 （為什麼不能用這個就好？季諾悖論）
(2) v = dx/dt
基於 f = m a
box : f = m a, a = f / m, 其中 a 是向量（問：向量是什麼？）
a 是什麼？ a = dv / dt （d / dt 微分符號是什麼意思？）
sub-box : 極限、連續、微分
v 是什麼？dx / dt
補充：從 加總 到 積分（請出牛頓來教我們）要複習微積分，有什麼比這個更好的理由？
∫ f dx ~ Σi fi Δxi
∫ f dx ≡ limΔx→0 ΣNi=1 fi Δxi = limΔx→0 ΣNi=1 fi Δx
自然哲學的數學原理
向量內積介紹
A•B = | A | | B | cos θ = A B cos θ
(Ax, Ay, Az) •(Bx, By, Bz) = AxBx + AyBy + AzBz
向量內積的意義：（有效方向）與方向有關的有效大小
例如：
1. 補獲有效面積 = 漁網大小 *投影* 截流方向
2. 流通量 = 流速〔內積〕面積 = 流速 * 截面積
（小單元面積為什麼有方向？因為在 3維 的世界裏，其法方向只是某特定方向，必須給定訊息才完整。）（）3. 作功大小 = 移動距離 * 物體在移動方向上的收力 = 施力大小 * 物體在施力方向上的移動（浴室溼滑肥皂境）
力的「價值」
大、小？
效、果？
有功、無益？
數、量？
功的定義
功 W = f•s
(Think : 只推，不動，到底有沒有作功？)
功－動能定理
力對帶有質量的東西（質量是不同慣性的程度），會做什麼？
不一併探討作用長度及方向的話，就會漫無法則。
W = ∫ f · dx = m ∫ a · dx = m ∫ (dv/dt) · dx = m ∫ (dv) · (dx/dt) = m ∫ dv · v = m ∫ v · dv = m (1/2) v2
保守力作功
保守力的定義：
作功與過程路徑無關的力，稱為保守力
「路徑無關」→「只與起始與終結點有關」
「過程無關」→「只問結果」
不是保守力的例子：摩擦力
「與路徑無關」這句話，怎麼用數學表達？
W = -∫ f · dr = U(rf) - U(rj) ≡ ∫dU
（為什麼是負的？想想重力的例子）
這裏的 dU 是什麼？它有什麼性質？
微積分： U(x,y,z) 是三個自變數的函數
叫作全微分的 dU 符號，有以下關係：
dU = (∂U/∂x) dx + (∂U/∂y) dy + (∂U/∂z) dz
這是意義重大關係式，想想
ΔU = ？ Δx ？Δy ？Δz？
就可以體會
W = ∫ dW = W - W0
但本來依定義 W = ∫ f · dr
唯有上式 ∫ fcons · dr = ∫∇U · dr = ∫dU ，才能符合要求
重要結論，保守力必定
能量的儲存：位能（只跟位置有關的能量）
重力 : f = m g
重力位能：U = m g h
彈力：f = - k x
彈力位能：U = (1/2) k x2
補充：在科學及工程上，定義 f = -∇U 來對應某持定 位能 U 所產生的力。
另一個重要的保守力 （靜電力）
（為什麼強調 "靜"電作用力？）
從力到美：在作用力、力作用中發現「能量」
力是向量、能量是純量。
力是變化的，能量保持定值。
「能量守恆」
正因為能量是透過作功來變換，因此不頓外產生，亦不憑空消滅。
動能加位能，叫作力學能（又稱機械能）E = K + U
力學能守恆：無外力的影響下，力學能守恆
E = K + U
dK = f dr = - dU （肥水不落外人田）
或是寫醬也可以 dU = -fdr = -dK
因此 dE / dt = d(K+U) / dt = 0 （因為上式面的 dK = -dU => dK + dU = 0）
dE / dt = 0 => E = C （C 是某常數，與時間無關）