2014.06.06 基應數期中後小考

（每題五分）

01. 寫下 f(x + Δx) 的泰勒展開式 f(x) + .....

02. 透過解釋 dU = ∇U · dx ， 也就是一純量函數之全微分的特性，說明保守力作功可用來定義位能。

03. 利用 δ_ij ε_ijk 公式，證明 A × ( B × C ) = B ( A · C ) - C (A · B)

04. 利用 δ_ij ε_ijk 公式，證明 ∇× (∇× A ) = ∇( ∇· A ) - ∇² A

05. 證明 ∇× (∇φ) = 0   且   ∇· (∇× A ) = 0 

06. 寫下高斯發散定理的公式，並詳細交待每一個符號的意義。

07. 寫下史脫克斯定理的公式，並詳細交待每一個符號的意義。

08. 協變張量與反協變張量有什麼不同？

09. 有一個張量 T 在 (x, y, z) 座標系其分量表示為 Tⁱ_jk，試問它在 (x', y', z') 座標系的結果 T^i'_j'k' 與原來之分量值 Tⁱ_jk 形成怎麼樣的關係？

10. 求解 x'' + (k/m) x = 0，函數 x(t)，其中 k, m 為 已知常數。

11. 求解 x'' + (k/m) x = A sin(ωt) ，函數 x(t)，其中 A, k, m 為 已知常數。

12. 透過矩陣相乘的基本定義，證明 (AB)^T = B^TA^T 。

13. 以文字描述方式，分別說明以高斯法及以公式法求一矩陣之反矩陣的作法。

14. 質量為 m, M, m 的三個質點依序排成一直線，以兩個彈性常數為 k 彈簧串在一起。求此系統之一維振動的 normal modes 。

15. 何謂相似轉換，它是在轉什麼？能作什麼用？

16. Hermitian 矩陣的本徵值必為實數，且不相同本徵值所對應的本徵向量必正交。

17. 矩陣對角化是怎麼樣的作法？為什麼要將一個矩陣對角化？

18. 先自行說明 f(x) 的條件與範圍的情況下， 寫下該函數 f(x) 的傅利葉級數展開公式。

19.  f * g 代表函數 f 與 g 的捲積 (convolution)，F(f) 代表函數 f 的傅立葉轉換結果，證明 F(f*g) = F(f) F(g) 。

20. 寫下 Euler-Langrange Equation 的形式並解釋其中每一個符號，說明此方程式個的解能使怎麼樣的量具有極值。