基礎物理數學 期中考 2013.04

每題十分

（向量三題）

一、寫下高斯定理及史脫克司定理的公式，並仔細解釋每一個符號。

二、證明純量場的梯度其旋度為零。

三、∇ × (∇× A)  = ∇(∇•A) − ∇² A ，以 ε_ijk δ_ij 關係式證明之。

（張量兩題）

四、有一個物理量它是一個張量，在座標變換的情況之下，該張量如何變換？

五、協變張量與反協變張量有何不同，試各舉例說明。又，測度張量的定義為何？

（常微方五題）

六、y'' - 4y' + y = 0 ，y(0) = 1、y'(0) = 3，求解 y(t)。

七、xy' + (x + y) = 0 是 exact 並求解

八、何謂 Wronskian determinant？它是作什麼用的？

九、證明 xy' + 2y + x2 = 0 不是 exact ，並用積分因子法求解。

十、利用級數解方法，求解 4x y'' + 2y' + y = 0 。