2013.11 基礎應用數學 期中考

每題十分。

一、為什麼 (fg)' = f' g + f g' ？

二、寫下泰勒展開式的公式。

三、f(x, y, z) = xyz + y，求 ∂f / ∂y。

四、那個叫 Jacobian 的東西是作什麼用的？

五、 寫下圓柱座標下的梯度算子。

六、 旋度為零的向量場，被稱作是無旋性（irrotational）。試證明一個純量函數梯度是 irrotational。

七、∇ × (∇× A)  = ∇(∇•A) − ∇² A ，用 ε_ijk 的方法證明之。

八、∇ × (A × B) = ( B•∇) A − (A•∇) B + (∇•B) A − (∇•A) B，用 ε_ijk 的方法證明之。

九、寫下高斯發散定理的公式，並仔細說明你寫的每一個符號。

十、寫下司多克斯定理的公式，並仔細說明你寫的每一個符號。

加分題一、證明測度矩陣是一個張量。

加分題二、證明向量對各方向的偏微分不是一個張量。