基應數 期中考 2014 年 11月

一、平面上的軌跡曲線，以大小 r、θ 及單位向量 e_r 、e_θ 表示時，寫下 速度向量 v = dr / dt 的形式。

二、寫下函數 f( x + Δx ) 在 x 處作泰勒展開的通式 。

三、證明：∫_-∞^∞ e^{- αx2} dx = √(π/α)

四、證明萊布尼玆律。

五、已知在曲線正交座標系之下，梯度算子的公式列出如後，利用此一通式，寫出球座標 ( r, θ, φ) 下的梯度算子。

六、所謂的 Jacobian 這個量是作什麼用的？ 請寫下它的定義，並解釋使用到的每一個符號。

七、ε₁₄₂₃ = ?； ε₁₁₂₃ = ?

八、用 ε_ijk 及 δ_lm 表示法，證明 A × ( B × C ) = B ( A · C ) - C ( A · B )。

九、寫下高斯發散定理，並解釋每一個符號。

十、寫下司鐸克斯定理，並解釋每一個符號。