基物數 期中考 104-1
(微積分部分)
1. f(x) 與 g(x,y) 皆是一個連續函數,試寫下 df / dx 與 ∂g / ∂y 的定義。
2. 寫下(平滑)函數 f( a + dx ) 在 a 處展開的泰勒展開式通式,並以此證明 d ex / d x = ex 。
3.函數 U( x, y, z ) 為 三個自變數的函數,寫下全微分 dU 的表示式。
(向量部分)
4. 規定向量就是那些具有特定座標轉換規則的量,有什麼好處?
5. 同向量 A 可表達在 ei 與 e'i 座標系,試以基底內積的方式表示出 該向量各座標分量 Ai 與 A'i 的轉換矩陣關係。
6. 梯度在正交曲線座標系的通式是 ∇ = (1/h1) (∂/∂u1) u^1 + (1/h2) (∂/∂u2) u^2+ (1/h3) (∂/∂u3) u^3 的形式,其中 hi ≡ | ∂r/∂ui| 、 u^i≡ (∂r/∂ui) / | ∂r/∂ui| 。寫下球座標系( r, θ,φ)下的梯度算子具體形式。
(向量微積分部分)
7. 證明 ∇ × (∇φ(r) ) = 0。
8. 證明 A × (B × C) = B( A · C ) - C ( A · B )。
9. 寫下 高所發散定理 的公式,並解釋每一個符號。
10. 寫下 司鐸克斯定理 的公式,並解釋每一個符號。