基物數 期中考 104-1

(微積分部分)

1. f(x) 與 g(x,y) 皆是一個連續函數，試寫下 df / dx 與 ∂g / ∂y 的定義。

2. 寫下(平滑)函數 f( a + dx ) 在 a 處展開的泰勒展開式通式，並以此證明 d e^x / d x = e^x 。

3.函數 U( x, y, z ) 為 三個自變數的函數，寫下全微分 dU 的表示式。

(向量部分)

4. 規定向量就是那些具有特定座標轉換規則的量，有什麼好處？

5. 同向量 A 可表達在 e_i 與 e'_i 座標系，試以基底內積的方式表示出 該向量各座標分量 A_i 與 A'_i 的轉換矩陣關係。

6. 梯度在正交曲線座標系的通式是 ∇ = (1/h₁) (∂/∂u₁) u^₁ + (1/h₂) (∂/∂u₂) u^₂+ (1/h₃) (∂/∂u₃) u^₃ 的形式，其中 h_i ≡ | ∂r/∂u_i| 、 u^_i≡ (∂r/∂u_i) / | ∂r/∂u_i| 。寫下球座標系( r, θ,φ)下的梯度算子具體形式。

(向量微積分部分)

7. 證明 ∇ × (∇φ(r) ) = 0。

8. 證明 A × (B × C) = B( A · C ) - C ( A · B )。

9. 寫下 高所發散定理 的公式，並解釋每一個符號。

10. 寫下 司鐸克斯定理 的公式，並解釋每一個符號。