球座標下的梯度算子

因為有同學在期中考之後，來問這個題目。因此，我把詳細的作法， 寫下來，展示給大家看。

題目：

6. 梯度在正交曲線座標系的通式是 ∇ = (1/h₁) (∂/∂u₁) u^₁ + (1/h₂) (∂/∂u₂) u^₂+ (1/h₃) (∂/∂u₃) u^₃ 的形式，其中 h_i ≡ | ∂r/∂u_i| 、 u^_i≡ (∂r/∂u_i) / | ∂r/∂u_i| 。寫下球座標系( r, θ,φ)下的梯度算子具體形式。

己知通式是

∇ = (1/h₁) (∂/∂u₁) u^₁ + (1/h₂) (∂/∂u₂) u^₂+ (1/h₃) (∂/∂u₃) u^₃

in which operator do not act on unit vector , i.e.

對於球座標系，不失一般性的情況下，以 (r, θ, φ) 為 (u₁, u₂, u₃)，原式具體寫成為

∇ = (1/h_r) (∂/∂r) r^+ (1/h_θ) (∂/∂θ) θ^+ (1/h_φ) (∂/∂φ) φ^

所以，我們需要知道的，就是，h_r 、 h_θ 、h_φ 這三個量在 (r, θ, φ) 座標系下是什麼形式

依照 h_i ≡ | ∂r/∂u_i| 的定義，

∂x /∂r = ∂(r sinθcosφ) /∂r = sinθcosφ

∂y /∂r = ∂(r sinθsinφ) /∂r = sinθsinφ

∂z /∂r = ∂(r cos θ) /∂r = cos θ

h_r = √ ( sin²θcos²φ+ sin²θsin²φ+ cos²θ) = 1

∂x /∂θ= ∂(r sinθcosφ) /∂θ = r cosθcosφ

∂y /∂θ= ∂(r sinθsinφ) /∂θ= r cosθsinφ

∂z /∂θ= ∂(r cos θ) /∂θ= - r sinθ

h_θ= √ ( r² cos²θcos²φ+ r² cos²θsin²φ + r² sin²θ) = r

∂x /∂φ= ∂(r sinθcosφ) /∂φ= -r sinθsinφ

∂y /∂φ= ∂(r sinθsinφ) /∂φ= r sinθcosφ

∂z /∂φ= ∂(r cos θ) /∂φ = 0

h_φ= √ ( r² sin²θsin²φ+ r² sin²θcos²φ) = r sinθ

∇ = (∂/∂r) r^ + (1/ r ) (∂/∂θ) θ^+ (1/ ( r sinθ)) (∂/∂φ) φ^