矩陣的意義與目的

線性

函數是線性的定義： f(ax + by) = a f(x) + b f(y)

例： f(x) = 5x

 

正比

乘以係數

一次方

方向、直線、斜率

 

向量及張量皆是重要的物理量

回顧：何謂向量及張量

為什麼物理定律的數學公式必須用張量及向量來寫？

向量與張量的定義為何？

 

線性關係的比例係數結構

f = - k x

（ (f_x, f_y, f_z) = -k (x, y , z) = (-kx, -ky, -kz) ）

D = ε E   

（D_i = Σ_j ε_ij E_j ）

 

向量的線性行為

向量的分量表法 v  = v_x e_x + v_y e_y + v_z e_z

向量的轉換 M (a + b) = M a + M b

座標轉換一定是線性，否則無意義 R v = R ( v_x e_x + v_y e_y + v_z e_z )

設定了基底，就看見了線性代數的矩陣式

問題：已知一個線性操作能把 e_x 映到 a 、 e_y 映到 b、 e_z 映到 c，矩陣完全決定了嗎？

線性代數方程式

從 M a = b 到 M x = b 欲求解 x 的矩陣問題

 

本徵值問題

另有一大類物理問題，具有 M x = λx 的形式，求未知常數 λ 及 未知向量 x

假如上述的 M 是 3 度空間中的轉動， 那 λ 與解出來的 x 具有什麼物理意義？

 

描述物體振盪的運動

使用（位置）向量，看其隨時間的變化 x_i(t)，其中 i 代表第 i 顆粒子

若振動複雜怎麼辦？有沒有比較好的描述方法？

Normal Mode

 

我們需要怎麼樣的矩陣數學？

不同座標下，矩陣及其相關數式如何變化？

反矩陣的好處

矩陣對角化的好處

物理上的向量不只是實數，也有複數的

本徵值廣義上的物理意義（對二次形 quadradic form 而言）

物質（粒子或波）的狀態 與 測量得到 的物理量

Trace 的目的何在？