A × (B× C)  = B(A•C) − C(A•B)

題目：A × (B× C)  = B(A•C) − C(A•B) ，用 ε_ijk 的方法證明之。

證法 :

用 ε_ijk 寫下外積

A × (B× C)  = Σ_ijk ε_ijk e_i A _j [(B×C)]_k

由於 (B× C) = Σ_klm ε_klm e_k B _l C _m ，

又 任何向量 V = Σ_i e_i  V_i ，

故 (B × C) = Σ_k e_k   [(B × C)]_k

即 [(B × C)]_k = Σ_lm ε_klm B _l C _m

則 A × (B× C)  之 i 分量 ( 即 e_i 的係數 ) 為

[A × (B × C )] _i

= Σ_jk ε_ijk A _j [(B× C)]_k 

= Σ_jk ε_ijk A _j  (Σ_lm ε_klm B_l C_m )

= Σ_jk Σ_lmε_ijk ε_klm A_j   B_l C_m

= Σ_jk Σ_lmε_ijk ε_lmk A_j   B_l C_m

= Σ_j Σ_lm  Σ_k ε_ijk ε_lmk A_j  B_l C_m

= Σ_j Σ_lm  (Σ_k ε_ijk ε_lmk) A_j   B_l C_m

= Σ_j Σ_lm (δ_ilδ_jm - δ_imδ_jl ) A_j  B_l C_m

= Σ_jlm δ_ilδ_jm A_j  B_l C_m  - Σ_jlm  δ_imδ_jl A_j  B_l C_m

= Σ_jmδ_jm A_j  B_i C_m  - Σ_jl δ_jl A_j  B_l C_i

= Σ_j A_j  B_i C_j - Σ_j A_j  B_j C_i

= B_i ( Σ_j A_j  C_j ) -  ( Σ_j A_j  B_j ) C_i

= B_i  (A•C ) - C_i (A•B)

= [ B  (A•C ) - C (A•B) ]_i

關鍵步驟已用 "=" 印出