∇ × (∇× A)  = ∇(∇•A) − ∇² A

題目； ∇ × (∇× A)  = ∇(∇•A) − ∇² A ，用 ε_ijk 的方法證明之。

證法 :

用 ε_ijk 寫下外積

∇ × (∇× A)  = Σ_ijk ε_ijk e_i ∂/∂x_j [(∇× A)]_k

由於 (∇× A) = Σ_klm ε_klm e_k ∂/∂x_l A_m ，

又 任何向量 V = Σ_i e_i  V_i ，

故 (∇× A) = Σ_k e_k   [(∇× A)]_k

即 [(∇× A)]_k = Σ_lm ε_klm∂/∂x_l A_m

則 ∇ × (∇× A)  之 i 分量 ( 即 e_i 的係數 ) 為

[∇ × (∇ × A )] _i

= Σ_jk ε_ijk ∂/∂x_j [(∇× A)]_k 

= Σ_jk ε_ijk ∂/∂x_j  (Σ_lm ε_klm∂/∂x_l A_m )

= Σ_jk Σ_lmε_ijk ε_klm ∂/∂x_j   ∂/∂x_l A_m

= Σ_jk Σ_lmε_ijk ε_lmk ∂/∂x_j   ∂/∂x_l A_m

= Σ_j Σ_lm  Σ_k ε_ijk ε_lmk ∂/∂x_j  ∂/∂x_l A_m

= Σ_j Σ_lm  (Σ_k ε_ijk ε_lmk) ∂/∂x_j   ∂/∂x_l A_m

= Σ_j Σ_lm (δ_ilδ_jm - δ_imδ_jl ) ∂/∂x_j  ∂/∂x_l A_m

= Σ_jlm δ_ilδ_jm ∂/∂x_j  ∂/∂x_l A_m  - Σ_jlm  δ_imδ_jl ∂/∂x_j  ∂/∂x_l A_m

= Σ_jmδ_jm ∂/∂x_j  ∂/∂x_i A_m  - Σ_jl δ_jl ∂/∂x_j  ∂/∂x_l A_i

= Σ_j∂/∂x_j  ∂/∂x_i A_j - Σ_j ∂/∂x_j  ∂/∂x_j A_i

= ∂/∂x_i ( Σ_j∂/∂x_j  A_j ) -  ( Σ_j ∂² /∂x_j²  ) A_i

= ∂/∂x_i  (∇•A ) - ∇² A_i

= [∇(∇•A)]_i − [ ∇² A ]_i

關鍵步驟已用 "=" 印出