問題與剖析

Q：為什麼向量的座標轉換是 ∂ x' / ∂ x 形式？

座標轉換是一個線性轉換，它能保持線性轉換應有的格式與特性。一個映射 f 如果是線性的，則 f(ax+by) = af(x) + bf(y)。一個線性轉換能把空間中共線的三個點，轉到另一組共線的三個點，而不會變成落在曲線上。

如果座標轉換的形式 x'i(x)不是線性，就不保證在原座標系下看來是直線的物件，在新座標系下看來也是直線。更何況座標轉換不改變向量的本質，向量的長度、角度（也就是常被提到的大小及方向），都要與原來相同。

∂ x' / ∂ x 在幾何上的意義，就是（新舊座標自變數間的）相對斜率

寫下完整的轉換方程組會更清楚看到，斜率矩陣元素來自各座標對原座標的微分。

Q : mid-term 四、有一個物理量它是一個張量，在座標變換的情況之下，該張量如何變換？

A :

每個張量的指標 T_ijk...^lmn...，以愛因斯坦 summention convention （即重覆指標代表相加）時 ，

T_i'j'k'...^l'm'n'...  = (∂ xⁱ / ∂ x^i') ( (∂x^j / ∂ x^j') (∂ x^k / ∂ x^k') ... (∂ x^l' / ∂x^l) ( (∂x^m' / ∂x^m) (∂ x^k' / ∂ x^k) ... T_ijk...^lmn...

Q : mid-term 五、協變張量與反協變張量有何不同，試各舉例說明。又，測度張量的定義為何？

A :

協變張量 A_i 在座標轉換下，其分量的轉換規則如同基底向量 e_i，轉換形式為 A_i' = (∂ xⁱ / ∂ x^i') A_i 。 例如純量函數的梯度向量分量 ∂U/∂xⁱ。

反協變張量 Aⁱ 在座標轉換下，其分量的轉換規則如同座標分量 xⁱ ，轉換形式為 A^i' = (∂ x^i' / ∂ xⁱ) Aⁱ 。、位置向量 xⁱ 、速度向量 vⁱ 的分量。

測度張量定義為 g_ij = < e_i | e_j > 其中 e_i、e_j  是基底向量，< | > 符號是內積（也可寫作 ( e_i , e_j )）。