複習：函數、微分、積分

主要請大家參考 Chow 課本 的 Appendix 1 中的部分議題

(1) 熟悉原文書的英文

(2) 習慣數學的技巧、思考與理解

針對以下主題繳交自習報告。

函數

什麼是函數 : 不會造成 一對多對應 的 映射

 

函數的連續性（極限）

什麼是連續 (沒有斷)

什麼是函數的連續 ( 函數圖線沒有斷)

ε-δ( orδ-ε) argument

函數的斜率（微分）

斜率的定義

函數微分的相關公式以及如何從 x + Δx 形式來了解

c

d/dx c = 0

 

ax + b

d(ax +b) /dx = d(ax)/dx + db/dx = a dx/dx + 0  = a

[ a (x + Δx) - a (x) ] / Δx = a

 

xⁿ

d ( xⁿ ) / dx  = n x^n-1

[ (x + Δx)ⁿ - xⁿ ] / Δx ∼ n x^n-1

提醒： 二項式展開的一般性公式是什麼？

 

e^x

d(e^x) / dx = e^x

e^x 的級數型態表示式： e^x = Σ_n=0^∞ xⁿ / n! ，由此理解   d e^x / dx  = e^x

（對於 e 不熟悉的同學，e  是大數學家 Euler /讀做 奧伊勒/ 所命名的無理數 e = 2.71828....。有興趣請見 : "e 的奧秘":(凡異出版社) 或 "毛起來說 e" (遠見天下出版社) ）

 

sin x

d (sin x) / dx  = cos x

e^iθ = cosθ + i sinθ ，故 sin x = (e^ix - e^-ix) / 2i 且 cos x = (e^ix + e^-ix) / 2

（不熟悉上面公式的同學，可用 Euler 的名字到網上去查。如 維基百科 Euler's formula）

 

cos x

d (cos x) / dx = -sin x

 

f(x) g(x)

d (fg) / dx = (df/dx) g + f (dg/dx) ，這叫作萊布尼玆律

 [ f(x + Δx) g(x + Δx) - f(x)g(x) ] / Δx = [ (f(x) + f'(x)Δx + ...) (g(x) + g'(x)Δx + ...) - f(x)g(x)] / Δx = [f'(x)g(x)Δx + f(x)g'(x)Δx + O(Δx²)] / Δx ∼ f'(x)g(x) + f(x)g'(x)

 

f(g(x))

chain rule （鏈鎖律）

df /dx = (df/dg) (dg/dx)

(自行驗證) hint

 

泰勒展開式

f(x+Δx) = Σ_n=0^∞ f⁽ⁿ⁾(x) (Δx)ⁿ / n! ，（注意 0! ≡ 1 ）

or

f(x) = Σ_n=0^∞ f⁽ⁿ⁾(a) (x-a)ⁿ / n! 

let Δx = x-a, then

f(x) = Σ_n=0^∞ f⁽ⁿ⁾(a) (x-a)ⁿ / n! 

becomes

f(x) = Σ_n=0^∞ f⁽ⁿ⁾(x - Δx) (Δx)ⁿ / n! 

let x = x' + Δx, then above equation is

f(x' + Δx) = Σ_n=0^∞ f⁽ⁿ⁾(x') (Δx)ⁿ / n!

finally set x' = x, we return to

f(x+Δx) = Σ_n=0^∞ f⁽ⁿ⁾(x) (Δx)ⁿ / n!

 

泰勒展開式 的 證明

假設 f(x) = A + B (x-a) + C (x-a)² + D (x-a)³ + E (x-a)⁴ + ..... , 微分一次得（這裏有利用到 d/dx xⁿ = n x^n-1，證明如下）

f'(x) = B + 2 C (x-a) + 3 D (x-a)² + 4 E (x-a)³ + ...

f''(x) = 2 C + 2*3 D (x-a) + 3*4 E (x-a)² + ...

:

於上列恆等式組全代入 x = a，則 :

f(a) = A

f'(a) = B

f''(a) = 2C

:

得證。

 

 

函數圖線下的面積（積分）

積分就是反導數

函數被微分後所得到的斜率函數

記得積分常數

偏微分

對於一多自變數的函數 f(x,y,z)，其偏微分代表僅對其中一個自變數的方向求斜率，記為 ∂f/∂y（以對 y 偏微為例） ，其定義是

∂f/∂y ≡ lim_Δy→0 [ f(x, y+Δy, z) - f(x, y, z) ] / Δy

 

例如 f(x,y,z) = xyz + y

∂f/∂y ≡ lim_Δy→0 {[ (x(y+Δy)z + ( y+Δy)] - [xyz + y]} / Δy = lim_Δy→0 (xz + 1) = xz + 1

全微分

U(x,y,z)

dU = (∂U/∂x) dx + (∂U/∂y) dy + (∂U/∂z) dz

∫ dU = U + C

 

∫ dx = x + C

∫ dy = y + C

∫ df = f + C

高斯函數積分技巧

I = ∫_-∞^∞ e^-x2 dx

 

證明：

I² = (∫_-∞^∞ e^-x2 dx ) ( ∫_-∞^∞ e^-y2 dy ) = ∫_-∞^∞∫_-∞^∞ e^{-(x2 + y2)} dx dy = ∫_θ=0^θ=2π∫_r=0^r=∞e^-r2 r dr dθ

∫_θ=0^θ=2π∫_u=0^u=∞e^-u (1/2) du dθ = 2π [-(1/2) e ^{- u} ]₀^∞ = 2π [ 0 - (-1/2) ] = π

 ∴ I = √π

（為什麼我們知道 dx dy = r dr dθ ？從微小體積轉換的 Jacobian 得知的。） （另一觀點，dx、dy 兩個正交的小線段， 換成 dr、r dθ兩個正交的小線段，所以小單元面積 dv = dx dy = r dr dθ）

 

自行證明：∫_-∞^∞ e^{- αx2} dx = √(π/α)