什麼是函數 : 不會造成 一對多對應 的 映射
複習：函數、微分、積分
主要請大家參考 Chow 課本 的 Appendix 1 中的部分議題
(1) 熟悉原文書的英文
(2) 習慣數學的技巧、思考與理解
針對以下主題繳交自習報告。
函數
什麼是函數 : 不會造成 一對多對應 的 映射
函數的連續性（極限）
什麼是連續 (沒有斷)
什麼是函數的連續 ( 函數圖線沒有斷)
ε-δ( orδ-ε) argument
函數的斜率（微分）
斜率的定義
函數微分的相關公式以及如何從 x + Δx 形式來了解
c
d/dx c = 0
ax + b
d(ax +b) /dx = d(ax)/dx + db/dx = a dx/dx + 0 = a
[ a (x + Δx) - a (x) ] / Δx = a
xn
d ( xn ) / dx = n xn-1
[ (x + Δx)n - xn ] / Δx ∼ n xn-1
提醒： 二項式展開的一般性公式是什麼？
ex
d(ex) / dx = ex
ex 的級數型態表示式： ex = Σn=0∞ xn / n! ，由此理解 d ex / dx = ex
（對於 e 不熟悉的同學，e 是大數學家 Euler /讀做 奧伊勒/ 所命名的無理數 e = 2.71828....。有興趣請見 : "e 的奧秘":(凡異出版社) 或 "毛起來說 e" (遠見天下出版社) ）
sin x
d (sin x) / dx = cos x
eiθ = cosθ + i sinθ ，故 sin x = (eix - e-ix) / 2i 且 cos x = (eix + e-ix) / 2
（不熟悉上面公式的同學，可用 Euler 的名字到網上去查。如 維基百科 Euler's formula）
cos x
d (cos x) / dx = -sin x
f(x) g(x)
d (fg) / dx = (df/dx) g + f (dg/dx) ，這叫作萊布尼玆律
[ f(x + Δx) g(x + Δx) - f(x)g(x) ] / Δx = [ (f(x) + f'(x)Δx + ...) (g(x) + g'(x)Δx + ...) - f(x)g(x)] / Δx = [f'(x)g(x)Δx + f(x)g'(x)Δx + O(Δx2)] / Δx ∼ f'(x)g(x) + f(x)g'(x)
f(g(x))
chain rule （鏈鎖律）
df /dx = (df/dg) (dg/dx)
(自行驗證) hint
泰勒展開式
f(x+Δx) = Σn=0∞ f(n)(x) (Δx)n / n! ，（注意 0! ≡ 1 ）
or
f(x) = Σn=0∞ f(n)(a) (x-a)n / n!
let Δx = x-a, then
f(x) = Σn=0∞ f(n)(a) (x-a)n / n!
becomes
f(x) = Σn=0∞ f(n)(x - Δx) (Δx)n / n!
let x = x' + Δx, then above equation is
f(x' + Δx) = Σn=0∞ f(n)(x') (Δx)n / n!
finally set x' = x, we return to
f(x+Δx) = Σn=0∞ f(n)(x) (Δx)n / n!
泰勒展開式 的 證明
假設 f(x) = A + B (x-a) + C (x-a)2 + D (x-a)3 + E (x-a)4 + ..... , 微分一次得（這裏有利用到 d/dx xn = n xn-1，證明如下）
f'(x) = B + 2 C (x-a) + 3 D (x-a)2 + 4 E (x-a)3 + ...
f''(x) = 2 C + 2*3 D (x-a) + 3*4 E (x-a)2 + ...
:
於上列恆等式組全代入 x = a，則 :
f(a) = A
f'(a) = B
f''(a) = 2C
:
得證。
函數圖線下的面積（積分）
積分就是反導數
函數被微分後所得到的斜率函數
記得積分常數
偏微分
對於一多自變數的函數 f(x,y,z)，其偏微分代表僅對其中一個自變數的方向求斜率，記為 ∂f/∂y（以對 y 偏微為例） ，其定義是
∂f/∂y ≡ limΔy→0 [ f(x, y+Δy, z) - f(x, y, z) ] / Δy
例如 f(x,y,z) = xyz + y
∂f/∂y ≡ limΔy→0 {[ (x(y+Δy)z + ( y+Δy)] - [xyz + y]} / Δy = limΔy→0 (xz + 1) = xz + 1
全微分
U(x,y,z)
dU = (∂U/∂x) dx + (∂U/∂y) dy + (∂U/∂z) dz
∫ dU = U + C
∫ dx = x + C
∫ dy = y + C
∫ df = f + C
高斯函數積分技巧
I = ∫-∞∞ e-x2 dx
證明：
I2 = (∫-∞∞ e-x2 dx ) ( ∫-∞∞ e-y2 dy ) = ∫-∞∞∫-∞∞ e-(x2 + y2) dx dy = ∫θ=0θ=2π∫r=0r=∞e-r2 r dr dθ
∫θ=0θ=2π∫u=0u=∞e-u (1/2) du dθ = 2π [-(1/2) e - u ]0∞ = 2π [ 0 - (-1/2) ] = π
∴ I = √π
（為什麼我們知道 dx dy = r dr dθ ？從微小體積轉換的 Jacobian 得知的。） （另一觀點，dx、dy 兩個正交的小線段， 換成 dr、r dθ兩個正交的小線段，所以小單元面積 dv = dx dy = r dr dθ）
自行證明：∫-∞∞ e- αx2 dx = √(π/α)