複習:函數、微分、積分

 

主要請大家參考 Chow 課本 的 Appendix 1 中的部分議題

 

(1) 熟悉原文書的英文

(2) 習慣數學的技巧、思考與理解

 

針對以下主題繳交自習報告。

 

函數

什麼是函數 : 不會造成 一對多對應 的 映射

 

函數的連續性(極限)

什麼是連續 (沒有斷)

什麼是函數的連續 ( 函數圖線沒有斷)

ε-δ( orδ-ε) argument

 

函數的斜率(微分)

斜率的定義

函數微分的相關公式以及如何從 x + Δx 形式來了解

c

d/dx c = 0

 

ax + b

d(ax +b) /dx = d(ax)/dx + db/dx = a dx/dx + 0  = a

[ a (x + Δx) - a (x) ] / Δx = a

 

xn

d ( xn ) / dx  = n xn-1

[ (x + Δx)n - xn ] / Δx ∼ n xn-1

 

ex

d(ex) / dx = ex

ex 的級數型態表示式: ex = Σn=0 xn / n! ,由此理解   d ex / dx  = ex

(對於 e 不熟悉的同學,e  是大數學家 Euler /讀做 奧伊勒/ 所命名的無理數 e = 2.71828....。有興趣請見 : "e 的奧秘":(凡異出版社) 或 "毛起來說 e" (遠見天下出版社) )

 

sin x

d (sin x) / dx  = cos x

e = cosθ + i sinθ ,故 sin x = (eix - e-ix) / 2i 且 cos x = (eix + e-ix) / 2

(不熟悉上面公式的同學,可用 Euler 的名字到網上去查。如 維基百科 Euler's formula

 

cos x

d (cos x) / dx = -sin x

 

f(x) g(x)

d (fg) / dx = (df/dx) g + f (dg/dx) ,這叫作萊布尼玆律

 [ f(x + Δx) g(x + Δx) - f(x)g(x) ] / Δx = [ (f(x) + f'(x)Δx + ...) (g(x) + g'(x)Δx + ...) - f(x)g(x)] / Δx = [f'(x)g(x)Δx + f(x)g'(x)Δx + O(Δx2)] / Δx ∼ f'(x)g(x) + f(x)g'(x)

 

f(g(x))

chain rule (鏈鎖律)

df /dx = (df/dg) (dg/dx)

(自行驗證) hint

 

泰勒展開式

f(x+Δx) = Σn=0 f(n)(x) (Δx)n / n! ,(注意 0! ≡ 1 )

or

f(x) = Σn=0 f(n)(a) (x-a)n / n! 

let Δx = x-a, then

f(x) = Σn=0 f(n)(a) (x-a)n / n! 

becomes

f(x) = Σn=0 f(n)(x - Δx) (Δx)n / n! 

let x = x' + Δx, then above equation is

f(x' + Δx) = Σn=0 f(n)(x') (Δx)n / n!

finally set x' = x, we return to

f(x+Δx) = Σn=0 f(n)(x) (Δx)n / n!

 

泰勒展開式 的 證明

假設 f(x) = A + B (x-a) + C (x-a)2 + D (x-a)3 + E (x-a)4 + ..... , 微分一次得(這埵釦Q用到 d/dx xn = n xn-1,證明如下)

f'(x) = B + 2 C (x-a) + 3 D (x-a)2 + 4 E (x-a)3 + ...

f''(x) = 2 C + 2*3 D (x-a) + 3*4 E (x-a)2 + ...

:

於上列恆等式組全代入 x = a,則 :

f(a) = A

f'(a) = B

f''(a) = 2C

:

得證。

 

 

函數圖線下的面積(積分)

積分就是反導數

函數被微分後所得到的斜率函數

記得積分常數

 

偏微分

對於一多自變數的函數 f(x,y,z),其偏微分代表僅對其中一個自變數的方向求斜率,記為 ∂f/∂y(以對 y 偏微為例) ,其定義是

∂f/∂y ≡ limΔy→0 [ f(x, y+Δy, z) - f(x, y, z) ] / Δy

 

例如 f(x,y,z) = xyz + y

∂f/∂y ≡ limΔy→0 {[ (x(y+Δy)z + ( y+Δy)] - [xyz + y]} / Δy = limΔy→0 (xz + 1) = xz + 1

 

全微分

U(x,y,z)

dU = (∂U/∂x) dx + (∂U/∂y) dy + (∂U/∂z) dz

∫ dU = U + C

 

高斯函數積分技巧

I = ∫-∞ e-x2 dx

 

證明:

I2 = (∫-∞ e-x2 dx ) ( ∫-∞ e-y2 dy ) = ∫-∞-∞ e-(x2 + y2) dx dy = ∫θ=0θ=2πr=0r=∞e-r2 r dr dθ

θ=0θ=2πu=0u=∞e-u (1/2) du dθ = 2π [-(1/2) e - u ]0 = 2π [ 0 - (-1/2) ] = π

 ∴ I = √π

(為什麼我們知道 dx dy = r dr dθ ?從微小體積轉換的 Jacobian 得知的。) (另一觀點,dx、dy 兩個正交的小線段, 換成 dr、r dθ兩個正交的小線段,所以小單元面積 dv = dx dy = r dr dθ)

 

自行證明:∫-∞ e- αx2 dx = √(π/α)