向量與張量 (II)
座標變換、向量微分、空間曲線、軌道
座標變換
向量的座標變換？一個向量好好的在那裏，為何需要(怎麼可以)變換？
畫在空間中的向量的確不必，但藉由座標軸單位表示
分別拿 e1^'、e2^'、e1^' 與上上式 之 A 內積，得下列三式
表示成矩陣型，則簡化為
看，變換（轉換）矩陣由新舊基底唯一決定。
物理學家希望物理定律的公式，在不同座標系之下都是完全相同的形式。在此一要求下，凡是出現在公式中之物理量都要具有特定的座標轉換規則。而我們就是這樣去定義純量、向量、張量，並只用這些量來代表公式中的物理量。
線性向量空間 Vn
正交歸一向量 f^i 具 f^i · f^j = δij 特性
使任意 A 有
A = Σi ci f^i，其中 ci = A · f^i
基底 完備(性)
一組向量, 足以線性組合 出空間中任意向量時稱之為完備, 該組向量形成基底, 其中各 向量 叫 基底向量。
線性獨立
{f^1, f^2, f^3} 線性獨立 : c1 f^1 + c2 f^2 + c3 f^3 = 0 iff c1 = c2 = c3 = 0
（幾何解釋，三個向量在三維中不共面。）
向量空間
加法 (交換律)
乘係數 (分配律)
(內積非必要) (詳見 維基百科 or MathWorld)
向量微分
分量微分
(直接求向量差也可)
A(t)
多變量偏微分
A(u, v)
dA = (∂A /∂u ) du + (∂A /∂v ) dv
上面這個 dA 叫做 A 的全微分，在熱力學與保守場的力學中非常重要。
問 1：其意義顯而易見，你能夠用白話把它講出來嗎？
問 2：這裏面也包含了微積分的基本核心觀念，你看出來了嗎？。
習題
用分量及 εijk 表示法，證明 d/dt (A × B) = dA/dt × B + A × dB/dt
空間曲線
考慮前面的向量值 A(u) 是 空間中的位置向量 r(u) ， 或以下 x(t)
參數
一個良好的空間曲線的參數表法，x(t) 是 1 對 1、至少一次可微，以及斜率 x'(t) 處處不為零。
切向量
若以弧長 s 作為參數（弧長的定義用畢氏定理，想像許多小直線段長度之累積，見微積分或幾何學課本），則切向量 dx / ds = T^ 恰為單位長。
把曲線看成許多小段，再利用畢氏定理 ΔL = √(Δx12 + Δx22)
如此，空間曲線孤長參數的定義為：
這個 l 可以被證明將與選取參數表示法無關。（但這個 l 真的是我們所認知的弧長這種東西嗎？怎麼看出來？關鍵在 dx = (dx/dt) dt = x· dt，即 dx = √(dx · dx) = √(x· · x· ) dt ）
弧長本身可以依其長度發展的變化而拿來當作一個表示曲線的參數，它與原參數之間的關係只要仿照上式定義來定成以下的形式即可：
法向量, 曲率
單位切向量的大小改變是曲率，改變方向是法向量。dT^/ds = κN^
平面運動（重要）
基底向量不是固定的
為什麼是上式這樣？因為萊布尼玆律
利用 e^r = cosθ e^1 + sinθ e^2
(d/dt) e^r = -sinθ (dθ/dt) e^1 + cosθ(dθ/dt) e^2 ，則其長度為
√[( sin2θ+ cos2θ) (dθ/dt)2] = dθ/dt，方向則恰是 e^θ（自已用力看清楚），因此得下式
（另法：由圖可看出 dl = dr e^r + r dθe^θ，一樣可得上式。）
（不採用卡氏座標基底，是自找麻煩？）
軌道問題(選)
與距離平方呈反比之作用力所構成的天體，運行軌道為一（封閉的）橢圓。這是牛頓在其巨著 Principa Mathematica 中揭露的爆炸性結果。（詳見牛頓傳記）
利用極座標，可以很容易地得到此結果。
推導如下：
基本定義及性質
L = r × p = r × mv
可證明角動量守恆 dL / dt = 0 （馬上會用到）
L2 = L · L = L · ( r × v ) = r · ( v × L ) （純量三重積的輪換）
那 v × L 是多少？見下
由於 d / dt ( v × L ) = d / dt (v) × L + v × d / dt (L) = d / dt (v) × L + 0 = dv / dt
（dL /dt = 0 是中心力場下角動量守恆之故，證明如下：待植入）
而 dv / dt = ?
由平方反比作用力定律，有 ma = m dv / dt = - ( k / r2 ) n^
其中 n^ 是法向向量（徑向向量），由原點（作用力中心）射出。
如此得到（提示：利用 n^ = r / | r | ）
d / dt ( v × L ) = k dn^/dt
這意味著
v × L = k n^ + C
代回前 L2 式 中，得
L2 = mr · ( v × L ) = m r ( k + C cosθ )
整理看 r 是多少（即 r 與 θ 的關係 r(θ) ）
r = (L2/km) / [ 1 + C / (k cosθ) ]
相當於圓錐曲線的通式，
r = A / (1 + ε cosθ)
其中 ε 稱作 離心率（偏心率 ） ， 視其值的不同，可以是圓、橢圓、拋物線，雙曲線。
用在中心力問題（尤其是距離平方反比作用力）求解上，可解釋克卜勒之行星定律的軌道。
r = A / (1 + ε cosθ)
離心率 ε的
ε = C / k = | v × L - k n^ | = ( 1 / k ) [ | v × L |2 + k2 - 2kn^ · ( v × L ) ]1/2
由於 v 垂直於 L，故 | v × L |2 = v2L2
又前已有 L2 = mr · ( v × L ) = m r n^ · ( v × L )
則
ε = ( 1 / k ) [ v2L2 + k2 + 2k L2/(mr) ]1/2 = [ 1 + [2 L2 /(mk2)][mv2/2 - k/r] ]1/2
總結ε=
使用極座標向量，就能以最簡潔的方式推得上述結果。
