梯度、散度、旋度、其常用公式、與正交(球、柱)座標系

 

向量微分

純量場微分與梯度

溫度場、高度(海拔)、氣壓場(場是空間的分佈)

 

保守向量場

W = ∫ab F · ds

保守力作功,僅與初、末位置有關,而與路徑無關。即上式

W = ∫ab F · ds = U(b) - U(a)

這意味著 F · ds = dU,即存在 一 U(x1, x2, x3),其

dU = (∂U /∂x1) dx1 + (∂U /∂x2)  dx2 + (∂U /∂x3) dx3

= ( ∂U /∂x1 , ∂U /∂x2 , ∂U /∂x3 ) · (dx1, dx2, dx3) = (U) · dr

 

向量微分算子 (讀做 nabla 或 del)

≡ ( ∂/∂x1 , ∂/∂x2 , ∂/∂x3 )

 

向量場的向量微分

散度

∇· A = ( ∂/∂x1 , ∂/∂x2 , ∂/∂x3 ) · (A1, A2, A3)

= ∂A1 /∂x1 + ∂A2 /∂x2 + ∂A3 /∂x3

是一個純量

 

散度的意義:

如果一個向量場是由某種 "源" 所產生的,那麼這個場在空間處處的的散度值會突顯出該 "源" 存在與否。

 

從連續方程式理解 "散" 度

自行見課本說明,會考。

 

 

2

 

2 φ = 0 叫 Laplace 方程式,重要。

 

2 作用在向量場與純量場都可以。

 

 

旋度

 

善用 εijk 定義 處理下列證明

∇ × ∇φ = 0

 


用到 εijk  的反對稱性,也就是 εijk  = -εikj

 

 

 

常用公式

作業:驗證上列十五個公式。(公式 (6) 最後一個 × 應作 · )

提示:善用 εijk 與 δij 等關係式

 

 

正交曲線性座標系

見課本推導,關鍵概述如下:

首先,在不失一般性的情況下,任何座標變換總是存在新、舊座標位置的定義:

見圖 1.16

 

新座標軸的產生

上面這一組的三個函數,會把體的任一點對應到另一點,佈滿三維空間。

這埵p果我們固定住 u2, u3 而只讓 u1 動,就能掃描出一條空間曲線,就可以把它們的切線向量,拿來作為座標軸的方向,就像於前單元採用單一 t 或弧長 s 作為參數時,可定義切線方向及單位切向量那樣。(至於這樣做出來的座標軸單位向量,並不保證正交。)

 

小線段元素的變換

把 ∂r /∂ui 的方向定為 ui^,長度 |∂r /∂ui| 定為 hi (又叫 scale factor),則上式成為

我們現在規定 u^1, u^2, u^3 互為正交,現在再來看小體積元素如何變換

 

小體積元素的變換

重點是:變換時,乘上 Jacobian。

Jacobian 不等於 0 時,局部有 1對1 轉換 (這是課本提醒)。

(為什麼要講這個?因為未來會有需要把 ∫ f(x,y,z) dxdydz 換成 ∫ f(u1,u2,u3) J du1du2du3 時,就要在微小體積元素上乘上 J。)

 

梯度算子、散度算子、旋度算子、拉卜拉斯算子的變換 (即它們在非卡氏座標系的公式)

通式

梯度

先看結果公式

推導起點

假設

注意 fi 不是本節一開始 談到之 座標變換函數 f, g, h ,而是某函數梯度之分量。

前有

由於 u^1, u^2, u^3 自成一 "正交歸一" 座標系 (這是前提假設),故有 (用上面 φ 的公式與 dr 的公式)

但又根據全微分之基本定義,下式一定成立

綜合前兩式條件,即得

hi fi = ∂φ/∂ui,即 fi = (1/hi) ∂φ/∂ui

得證原式

補充:hi 是有幾何學上的意義的,詳見其他教科書。

 

散度預備

會利用到的兩個關係

(a) 的證明

利用前已證之 ∇φ 公式,套用在 u1 上, ∇u1 = (1/h1) (∂u1/∂u1) u1^ + 0 + 0 = (1/h1) u1^,故 其長度 | ∇u1| = 1/h1

 

(b) 的證明

由 (a) 我們有 ∇u1 = (1/h1) u1^ ,∇u2 = (1/h2) u2^,∇u3 = (1/h3) u3^

∇u2 × ∇u3 = 1/(h2 h3) u2^ × u3^ = 1/(h2 h3) u1^

(為什麼 u2^ × u3^ = u1^ ? )

故 u1^ = h2 h3 ∇u2 × ∇u3 ,得證。

 

散度

證法

· A = · (Σi Ai ui^) = · ( A1 u1^) + · ( A2 u2^) + · ( A3 u3^) (分配律)

其中先看 · ( A1 u1^)

利用前面的 u1^ = h2 h3 u2 ×u3 ,有

· ( A1 u1^) = · ( A1 h2 h3 u2 × u3 )

= ( A1 h2 h3) · (u2 × u3 ) +( A1 h2 h3) · ( u2 × u3 )

再利用前面的 ui = (1/hi) ui^

上式 = (1/h1) (∂ A1 h2 h3 / ∂ u1) [1/ (h2 h3)] + 0

第二項為零是因為使用了"對任何函數  f, g , · ( f × g ) = 0 " 這一個特性。(同學們自己可利用 · ( A × B ) = ... 的公式證明看看 (用前面 15 條公式之 (4) 和 (6) ),不會做可見 Riley 書。)

(亦可由 u2 × u3 = (u^2/ h2) × (u^3/ h3) = u^1/ (h2h3),

(課文提供的證法,較不方便的點也在此。因為既要證明· ( ) 的形式,且尚未證出,就又需要 用到· ( ) 的公式。)

補充:也可使用 · A ≡ limΔV→0 (∫CS A · ds ) / ΔV ,即微小體積的通量(向量面積分)來理解 · (u1^) = 0   的理由。

思考:為什麼 不是用向量分量的轉換公式就好,其解果還這麼複雜? 我們把 寫成向量的樣子,操作規則也很像,它到底是不是向量,若不是,為何與向量如此相像?

 

詭論式的推導

· ( A1 u1^) = A1 · u1^ +   A1 · u1^

其中,第一項中的

A1 = (1/h1) (∂A1/ ∂ u1) u1^ + (1/h2) (∂A1/ ∂ u2) u2^ + (1/h3) (∂A1/ ∂ u3) u3^

A1 · u1^  = (1/h1) (∂A1/ ∂ u1)

另外,第二項中的

· u1^ = 0

綜合兩項,

· ( A1 u1^) = (1/h1) (∂A1/ ∂ u1)

與剛才上面導出來的不一樣,那堥ㄗ麆迨F?

 

拉卜拉斯算子

前面已知

組合使用,可得

問題:我們怎麼知道上面的操作是合法的?真的可以這樣套用嗎?為什麼?難到沒有一個 "正統座標轉換" ,或是 "廣義微分定義" 的方法,讓我們可以直接看到上述各通式?

 

旋度

一樣從 × A =  × (A1 u1^ + A2 u2^ + A3 u3^)  開始 看 u1 分量

× (A1 u1^) =  × ( A1 h1u1 )

= ( A1 h1) ×u1 + A1 h1 × u1 = ( A1 h1) ×u1 +  0

= ( A1 h1) × (u1^ / (h2h3))

= Σijk εijk ui^ [(∂/∂uj ) (A1 h1)] [(u1^/ (h2h3)]|k

= Σijkεijk ui^ [(∂/∂uj ) (A1 h1)] [(1/ (h2h3)]k δ1k

= Σij εij1 ui^ [(∂/∂uj ) (A1 h1)] [(1/ (h2h3)]

= εi=2,j=3,1 ui^ [(∂/∂uj ) (A1 h1)] [(1/ (h2h3)] + εi=3,j=2,1 ui^ [(∂/∂uj ) (A1 h1)] [(1/ (h2h3)]

= u2^ [(∂/∂u3 ) (A1 h1)] [1/ (h2h3)] − u3^ [(∂/∂u2 ) (A1 h1)] [1/ (h2h3)]

= [1/ (h2h3)] [ u2^ (∂/∂u3 ) (A1 h1) − u3^ (∂/∂u2 ) (A1 h1)]

 

(提醒:看到 ×  就代入 εijk ,然後設法讓 εijk 消失,是常見的作法)

 

課本的作法(倒數第二行括弧內應全是 A1 h1 才對)

 

綜合三個部分,完整的結果是:

也可寫成行列式形式

 

問題:我們怎麼知道前面的 (1) ~ (14) 式對曲線性座標系也是對的?

或先問簡單一點:我們怎麼知道 ,那些公式,在另一個卡氏座標是對的?

 

 

∇· v× v∇v 的不變性(進階)

用張量的語言來了解(不同座標下,形式一樣,張量就是在描述這像的東西。)

一本不錯的小書:J. G. Simmonds, A Brief on Tensor Analysis

 

 

常用正交座標系

柱座標系

(見課本圖 1.17)

x1 = ρ cosφ, x2 = ρ sinφ, x3 =z

本例中, hrho = 1、hphi = ρ、hz = 1。

證明見下:

方法一

由圖可見

dr = dρ eρ + ρ dφ eφ + dz ez = [1] dρ eρ + [ρ] dφ eφ + [1] dz ez

注意 ρ dφ 的意思。 得證

方法二

由圖可見

eρ = cosφ ex + sinφ ey

eφ = - sinφ ex + cosφey

意謂著

ex= cosφeρ- sinφ eφ

ey= sinφeρ + cosφeφ

此外,從 x = ρ cosφ, y = ρ sinφ  的定義,有

dx = cosφdρ - ρsinφ dφ

dy = sinφdρ + ρ cosφ dφ

現在,從 dr = dx ex + dy ey + dz ez 出發,分別代入上面剛剛整理出未的 exeφ 及 dx、dy。就可以把 dr 化成全由 dρ、dφ 及  eρeφ 所構成。

dr = dx ex + dy ey + dz ez= (cosφdρ - ρsinφ dφ) (cosφeρ- sinφ eφ) + ( sinφdρ + ρ cosφ dφ ) (ey= sinφeρ + cosφeφ ) + dz ez

利用 cos2θ + sin2θ = 1

最後,得

dr = dρ eρ + ρdφeφ + dz ez

 

 

 

(對行列式乘上一個係數,等同於對其某一行或一列同乘該係數)

 

 

 

球座標

(見課本圖 1.18)

x1 = r sinθcosφ, x2 = r sinθsinφ, x3 = r cos θ

 

一樣用 ds2 去對出 h1, h2, h3,見課本

 

上面的式子雖然很複雜,但數學問題有對稱性時,就會大幅簡化,在未來你們的課程中,這樣的例子很多。

 

 

微分運算的核心特徵

(1) 線性 (對函數的加運算組合)

(2) 萊布尼玆律 (對函數的乘運算組合)

說明

想想泰勒展開式

f(x+Δx) = Σn=0 f(n)(x) (Δx)n / n!

,其中 f(n)(x) 是函數 f(x) 的第 0 階導數。

欲表達一個連續變化的函數,用微小量的多項式(冪次),配合各階導數(斜率)作展開,總是可以 做到。 而任何微分算子,就是要取出斜率(函數值的變化率)。

現在,試想兩個業經泰勒函數的加法運算組合,要取其一階斜率,自然取得冪次同為 Δx 之各自的一階導數和,故任何微分運算滿足線性。

其次, 試想兩個業經泰勒函數的乘法運算組合,要取其一階斜率,自然取得冪次同為 Δx 之各帶有一次一階導數者(兩個一階導數的那一項,是 Δx2 項,太小),故必滿足 萊布尼玆律。

 

作業:證明泰勒展開式

 

 

參考閱讀

K. F. Riley and M. P. Hobson, Fundation of Mathematics : for the physical sciences, Cambridge University Press
解說清楚,範例眾多。

S. S. Bayin, Essentials of Mathematical Methods in Sceince and Engineering, Wiley
兼具推導詳細與取材完整,

林雲海,基礎數學(簡明版),五南出版社
中文,淺顯易懂