向量積分:高斯定理與連續方程式

 

向量積分

向量的線積分、面積分、體積分。

課本提醒你,當積分的變數個數少於積分子(intergrand 即被積分函數)的變數個數,此一積分就與路徑有關。

除非像右式的純量積剛好是一個全微分 (exact differential) A·dr = φ·dr = dφ ,則該線積分

A·dr = ∫ dφ= φ(b) -φ(a)

與路徑無關 (例如保守力做功)。

 

 

高斯定理

電力線的圖像由法拉第所提出:(1) 電力線起於正電荷、終於負電荷、(2) 電力線越密電力作用越大、(3) 電力線永不相交,這三個描繪 電力線圖像的規則。

 

介紹電通量

Φ = E · A

(用內積,即投影,目的在公平地數出電力線數而不受選取面法方向任意性之影響。)

 

電學高斯定律

見普物課本:

ΦCS =∫∫ E · dA = q / ε0

 

一句白話:數電力線數目,就知電荷量。

 

應用:有對稱的電荷分佈,很容易算得電場(不必使用庫倫定律積分)。

 

 

高斯定理(發散定理)(注意定律與定理的不同)

陳述

V · A dV = ∫Cls-S A · n^ da

 

證明關鍵步驟:

選 x1 為方向,積分一個截面積為 dx2 dx3 的一個長柱子,

在沿者此柱的方向 x1 , dA1 =  (∂A1/∂x1) dx1

(本來 dA1 =  (∂A1/∂x1) dx1 + (∂A1/∂x2) dx2 + (∂A1/∂x3) dx3,但沿著 x1 方向, x2 與 x3 皆是定在某個值,因此在 dx2 與 dx3 皆等於零的惰況下,(∂A1/∂x1) dx1 = dA1

 

V · A dV = ∫VΣi∂Ai/∂xi dV = ΣiV ∂Ai/∂xi dV

其中 i = 1的那一項可寫成CS dx2 dx3PQ (∂A1/∂x1) dx1

= ∫CSdx2 dx3∫ dA1 = ∫CS  [A1(Q) - A1(P) ] dx2 dx3

 

小面積元素 da1 在 x1 方向上的大小,在 Q 為 dx2 dx3,在 P 為 -dx2 dx3,上式可寫為

CS  A1(Q)  da1 - ∫CS  A1(P) da1

 

總合 i =1, 2, 3 三個方向,則

原式 = ∫CS   A(r) · da

得證。

 

以上證明適用簡單連接體(柳丁),若非簡單連接體(如甜甜圈)仍然成立。

 

連續方程式

∂ρ(r) /∂t + ∇·j(r) = 0

,其中 j(r) = ρ(r) v(r)

 

在質量不滅的假設下,可以用高斯定理證出。

 

證明關鍵步驟

從總質量 M = ∫ ρ(r) dV 出發,質量不滅意即 M 為時間上的常數,即 dM/dt = 0

又 dM/dt = ∫CSρv · dS,質量流(通量)之面積分用高斯定律轉成體積分,。

(另法)對小體積元素 dV,它有六個面,在 x 方向有兩個,設分別截在 x 及 x + Δx 。現考慮 流入量與流出量,為 ρ(x,y,z) v(x,y,z) dA 及 ρ(x+Δx) v(x+Δx) dA ,其中 dA = dy dz 。 留在媕Y的淨增率是 ∂ρ(x,y,z) v(x,y,z) / ∂x  乘上 dA,三個方向即 ∇ · (ρv)。積分全體體積即 M 之變化。

把 0 = dM/dt  = (d/dt) ∫ ρ(r) dV = -∫∂ρ(r)/∂t  dV = ∫∇ · (ρv) dV ,此式對任意形體皆對,故有 ∂ρ(r)/∂t    = -∇ · (ρv),得證。(負號是因定面外為正,而外流質量減少。)

(具體步驟看課本)