向量積分:司鐸克斯定理、格林定理與其他

 

司鐸克斯定理

定理陳述

 

證明步驟

上式的正負號係數與前原式之所以不同,是因為 da2 拆開成 dx3dx1 、與 da3 拆開成 dx1dx2 ,微小面元素方向不同(da3 不變,da2 反號)。

 

基於(這堿O關鍵起始點)

但現在為限制於 x1 位置的情況下,故僅上式後兩項仍可成為 dA1 ,而有下式 (這堿O關鍵目標點)

已得一個細條的是兩個線積分小段,則整片的邊界就是完整的迴路

其他兩分量也是相同的作法

收集加總,得證

 

流體力學上的應用

無旋渦的流場,potential flow

 

安培定律

見課本

 

 

格林定理(選)

格林定理是發散定理的餘定理 corollary(所謂餘定理者,乃定理證明確立後,再用該定理可容易證明之延伸定理者,稱之為該定理之餘定理)(另有 Lemma 預備定理;Conjecture 推測)

 

 

平面上的格林定理(選)

(證明見課本)

 

應用:任意面積封閉曲線圍成的面積

Area = (1/2) ∫Γ x1 dx2 - x2dx1

 

 

一些有用的積分關係式

(1) ∫ab (φ)· dl = φ(b) - φ(a)

(證明見課本 p.46)(這是保守力作功定義位能的公式)

 

(2) ∫Cls-S (∂φ/∂n) da = ∫V2φ dV

(證明見課本 p.46)

 

(3) ∫V ∇ φ dV = ∫Cls-S φ n^ da

(證明見課本 p.46)

 

(4) ∫V × B dV = ∫Cls-S n^× B da

(證明見課本 p.47)

 

 

Helmholtz's 定理 (選)

任一向量場必可寫成 一個 irrotational 場 (∇φ) 與一個 solenoidal 場 (∇× A) 之和 ,即

知道 V(r),則 φ 與 A 皆可由泊松方程式解得。

詳見課文