座標變換下，向量的分量會消長變化，但向量則保持不變。
物理量中，比向量複雜的量還很多，例如固體的彈性係數（"張"量名稱之來源）。我們要怎麼來制定與特定座標系之選定無關的物理量描述方式？（若不在意這個，根本連向量都不必定義了，不過就當它們是不相干的三個數罷了。）
除了物理量本身外，物理量的導數 (各種向量場微分) 也經常出現在公式中，我們也會希望在座標轉換下形式不變。但想達到這一點，一開始就必須採用不同的曲線性座標己有之複雜的通式。
思考：已知向量場微分算子通式較複雜，必須在卡氏座標系才較簡單的情況下，讓我們想想數學形式為何獨厚卡氏座標系？它有何特殊之處？此一特性是否有機會也建構給非卡氏座標系？
張量的定義
與向量一樣，張量也是根據其作座標變換下的轉換規則模式來定義與分類的。事實上，向量也是屬於張量的一種。
從本節開始，我們把向量分量的指標寫為上標
也就是說， x1 = x1(x'1, x'2, x'3), x2 = x2(x'1, x'2, x'3), x3 = x3(x'1, x'2, x'3)
思考：這裏的 x1 = x1(x'1, x'2, x'3) 會是什麼樣子呢？能是什麼樣子呢？
座標變換所使用的矩陣，卡氏座標間要轉換所對應到的矩陣形式很簡單。現在我們問，曲線性座標系呢？公式不可能會一樣了吧？（軸向量的方向隨座標而變。）以下建立轉換矩陣：
當座標變換進行時，座標微小量的變換 (的微積分) 規則如下(重要)：
上式中 ν 是要加總的，即 dxμ = Σν (∂xμ/∂x'ν) dx'ν
Einstein's summation convention : 碰到一上一下指標是成對出現時，自動執行該座指標的加總，換具話說，對應該指標的 Σ 符號逕自省略，如下例：
範例：座標軸轉動 θ 角，座標反轉 θ 角
如何記？基底 正交、歸一，把單位向量轉動到另一個單位向量
x' = x cos(-θ) + y sin(-θ) = x cosθ − y sinθ
y' = - x sin(-θ) + y cos(-θ) = x sinθ + y cosθ
∂x'/∂x = cosθ 、 ∂x'/∂y = -sinθ
∂y'/∂x = sinθ 、 ∂y'/∂y = cosθ
延伸：張量在座標轉換的幾何圖像（與向量比較）
二級張量的基本持性，與向量的線性運算
v = v1 e1 + v2 e2
T = Tij
T v = Σij Tij vj = Σij Tij
| T |
|
|
|
|
| T11 |
T12 |
T13 |
v1 |
|
| T21 |
T22 |
T23 |
v2 |
= |
| T31 |
T32 |
T33 |
v3 |
|
把 Ti1 向量轉到 Ti'1，把 T
結論：一個二級張量是（一個線性運作），作用到一個向量上，按該向量的特性，，生成另一個向量。
平面向量
學向量到現在，接觸到的有方向的東西，卻有兩種不同的轉換方式。一種是向量的分量，另一種是切線（常被拿來作為基底向量），但它們的轉換方式卻不一樣：
其中，有一類是循向量之座標分量的規則來作轉換，叫反協變 (contravariant) 向量
問題：從針對座標微小量而言成立的轉換公式，為什麼對不是微小量的也是對？可以這樣偷渡嗎？
（關鍵是：座標轉換是線性的，故微小向量與一般向量使用同一個矩陣作轉換。）
習題：A'ν 如何以 Aμ 來表示？
另一類，轉換矩陣與上述 contravariant vector 者的結構必須呈倒數，叫協變 (covariant) 向量
（勘誤：課本上式最右邊的 Aν 應為 A'ν ）
純量函數之梯度向量，以及基底向量屬之。
注意轉換公式與指標之搭配情形。
問題：為什麼純量函數梯度的座標轉換就需要這麼轉？（自行驗證）
（光看出現符號的位置，即上下有別）
Aμ 這個符號既是代表分量，我們也常直接用它來描述整個張量。
思考：
之間有何不同？
一定只有兩種？
微小變化，只有 dx 及 d/dx。一個出現在分子，另一個其原本也是 dx，但出現在分母。微分運算只能有這兩種。
反協變向量的範例是：速度、加速度
協變向量的範例是：靜電位梯度（即靜電場）
幾何意義
反協變向量以座標參數的變化（遞增）方向來作為方向參考的依據
協變向量則以正交於等座標曲面方向（即法方向）來作為方向參考的依據
在卡氏座標系下，座標參數的變化恰與等座標曲面法方向一致，故無差別。
補充：
拿同一座標的
A = Aμ eμ= Aμ eμ
其中 eμ· eν = δ μν，它們互為 dual 基底向量
補充：[畫在黑板上]
反協變向量 Aμ 為（任意非正交）基底 eμ 的係數，因此用作圖法畫向量的話，是各基底向量乘倍數後，平移頭尾連（平行四邊形表法）。
而與協變向量的分量 Aμ 則是 Aμ= A · eμ 。（注意此處下標的承續沿用） （錐形表法）
想想看在什麼情況下，Aμ 與 Aμ不同？ （回憶 A = Aμ eμ= Aμ eμ）
(係數的倍數與投影的長度怎樣會不同，又與向量長度的關係為何？)
Tμν = (∂x'α/∂xμ) (∂x'β/∂xν) T ' αβ
(此式課文沒印成上標，小心)
Tμν = (∂xμ/ ∂x'α) (∂x'β/∂xν) T 'αβ
看清楚有 prime 及 沒 prime 自變數出現在分母及分子位置的規則，不要眼花了。
一個張量所帶的自由指標數目，叫做張量的級或階 (rank)。