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¤]´N¬O»¡¡A x1 = x1(x'1, x'2, x'3),   x2 = x2(x'1, x'2, x'3), x3 = x3(x'1, x'2, x'3)

«ä¦Ò¡G³oùتº x1 = x1(x'1, x'2, x'3) ·|¬O¤°»ò¼Ë¤l©O¡H¯à¬O¤°»ò¼Ë¤l©O¡H

®y¼ÐÅÜ´«©Ò¨Ï¥Îªº¯x°}¡A¥d¤ó®y¼Ð¶¡­nÂà´«©Ò¹ïÀ³¨ìªº¯x°}§Î¦¡«Ü²³æ¡C²{¦b§Ú­Ì°Ý¡A¦±½u©Ê®y¼Ð¨t©O¡H¤½¦¡¤£¥i¯à·|¤@¼Ë¤F§a¡H¡]¶b¦V¶qªº¤è¦VÀH®y¼Ð¦ÓÅÜ¡C¡^¥H¤U«Ø¥ßÂà´«¯x°}¡G

·í®y¼ÐÅÜ´«¶i¦æ®É¡A®y¼Ð·L¤p¶qªºÅÜ´« (ªº·L¿n¤À) ³W«h¦p¤U(­«­n)¡G

¤W¦¡¤¤ ν ¬O­n¥[Á`ªº¡A§Y dxμ = Σν (∂xμ/∂x'ν) dx'ν

Einstein's summation convention : ¸I¨ì¤@¤W¤@¤U«ü¼Ð¬O¦¨¹ï¥X²{®É¡A¦Û°Ê°õ¦æ¸Ó®y«ü¼Ðªº¥[Á`¡A´«¨ã¸Ü»¡¡A¹ïÀ³¸Ó«ü¼Ðªº Σ ²Å¸¹³w¦Û¬Ù²¤¡A¦p¤U¨Ò¡G

 

½d¨Ò¡G®y¼Ð¶bÂà°Ê θ ¨¤¡A®y¼Ð¤ÏÂà θ ¨¤

¦p¦ó°O¡H°ò©³ ¥¿¥æ¡BÂk¤@¡A§â³æ¦ì¦V¶qÂà°Ê¨ì¥t¤@­Ó³æ¦ì¦V¶q

x' = x cos(-θ) + y sin(-θ) = x cosθ − y sinθ

y' = - x sin(-θ) + y cos(-θ) = x sinθ + y cosθ

∂x'/∂x = cosθ ¡B ∂x'/∂y = -sinθ

∂y'/∂x = sinθ ¡B ∂y'/∂y = cosθ

 

©µ¦ù¡G±i¶q¦b®y¼ÐÂà´«ªº´X¦ó¹Ï¹³¡]»P¦V¶q¤ñ¸û¡^

¤G¯Å±i¶qªº°ò¥»«ù©Ê¡A»P¦V¶qªº½u©Ê¹Bºâ

v = v1 e1 + v2 e2

T = Tij

T v = Σij Tij vj = Σij Tij

T        
T11 T12 T13 v1  
T21 T22 T23 v2 =
T31 T32 T33 v3  

§â Ti1 ¦V¶qÂà¨ì Ti'1¡A§â T

µ²½×¡G¤@­Ó¤G¯Å±i¶q¬O¡]¤@­Ó½u©Ê¹B§@¡^¡A§@¥Î¨ì¤@­Ó¦V¶q¤W¡A«ö¸Ó¦V¶qªº¯S©Ê¡A¡A¥Í¦¨¥t¤@­Ó¦V¶q¡C

 

¥­­±¦V¶q

 

¨óÅÜ¡B¤Ï¨óÅܦV¶q

¾Ç¦V¶q¨ì²{¦b¡A±µÄ²¨ìªº¦³¤è¦VªºªF¦è¡A«o¦³¨âºØ¤£¦PªºÂà´«¤è¦¡¡C¤@ºØ¬O¦V¶qªº¤À¶q¡A¥t¤@ºØ¬O¤Á½u¡]±`³Q®³¨Ó§@¬°°ò©³¦V¶q¡^¡A¦ý¥¦­ÌªºÂà´«¤è¦¡«o¤£¤@¼Ë¡G

¨ä¤¤¡A¦³¤@Ãþ¬O´`¦V¶q¤§®y¼Ð¤À¶qªº³W«h¨Ó§@Âà´«¡A¥s¤Ï¨óÅÜ (contravariant) ¦V¶q

°ÝÃD¡G±q°w¹ï®y¼Ð·L¤p¶q¦Ó¨¥¦¨¥ßªºÂà´«¤½¦¡¡A¬°¤°»ò¹ï¤£¬O·L¤p¶qªº¤]¬O¹ï¡H¥i¥H³o¼Ë°½´ç¶Ü¡H

¡]ÃöÁä¬O¡G®y¼ÐÂà´«¬O½u©Êªº¡A¬G·L¤p¦V¶q»P¤@¯ë¦V¶q¨Ï¥Î¦P¤@­Ó¯x°}§@Âà´«¡C¡^

²ßÃD¡GA'ν ¦p¦ó¥H Aμ ¨Óªí¥Ü¡H

 

¥t¤@Ãþ¡AÂà´«¯x°}»P¤W­z contravariant vector ªÌªºµ²ºc¥²¶·§e­Ë¼Æ¡A¥s¨óÅÜ (covariant) ¦V¶q

¡]°É»~¡G½Ò¥»¤W¦¡³Ì¥kÃ䪺 Aν À³¬° A'ν ¡^

¯Â¶q¨ç¼Æ¤§±è«×¦V¶q¡A¥H¤Î°ò©³¦V¶qÄݤ§¡C

 

ª`·NÂà´«¤½¦¡»P«ü¼Ð¤§·f°t±¡§Î¡C

 

°ÝÃD¡G¬°¤°»ò¯Â¶q¨ç¼Æ±è«×ªº®y¼ÐÂà´«´N»Ý­n³o»òÂà¡H¡]¦Û¦æÅçÃÒ¡^

¡]¥ú¬Ý¥X²{²Å¸¹ªº¦ì¸m¡A§Y¤W¤U¦³§O¡^

 

Aμ ³o­Ó²Å¸¹¬J¬O¥Nªí¤À¶q¡A§Ú­Ì¤]±`ª½±µ¥Î¥¦¨Ó´y­z¾ã­Ó±i¶q¡C

 

«ä¦Ò¡G

¤§¶¡¦³¦ó¤£¦P¡H

¤@©w¥u¦³¨âºØ¡H

·L¤pÅܤơA¥u¦³ dx ¤Î d/dx¡C¤@­Ó¥X²{¦b¤À¤l¡A¥t¤@­Ó¨ä­ì¥»¤]¬O dx¡A¦ý¥X²{¦b¤À¥À¡C·L¤À¹Bºâ¥u¯à¦³³o¨âºØ¡C

 

¤Ï¨óÅܦV¶qªº½d¨Ò¬O¡G³t«×¡B¥[³t«×

¨óÅܦV¶qªº½d¨Ò¬O¡GÀR¹q¦ì±è«×¡]§YÀR¹q³õ¡^

 

´X¦ó·N¸q

¤Ï¨óÅܦV¶q¥H®y¼Ð°Ñ¼ÆªºÅܤơ]»¼¼W¡^¤è¦V¨Ó§@¬°¤è¦V°Ñ¦Òªº¨Ì¾Ú

¨óÅܦV¶q«h¥H¥¿¥æ©óµ¥®y¼Ð¦±­±¤è¦V¡]§Yªk¤è¦V¡^¨Ó§@¬°¤è¦V°Ñ¦Òªº¨Ì¾Ú

¦b¥d¤ó®y¼Ð¨t¤U¡A®y¼Ð°Ñ¼ÆªºÅܤƫê»Pµ¥®y¼Ð¦±­±ªk¤è¦V¤@­P¡A¬GµL®t§O¡C

¸É¥R¡G

®³¦P¤@®y¼Ðªº

A = Aμ eμ= Aμ eμ

¨ä¤¤ eμ·  eν = δ μν¡A¥¦­Ì¤¬¬° dual °ò©³¦V¶q

 

¸É¥R¡G[µe¦b¶ÂªO¤W]

¤Ï¨óÅܦV¶q Aμ ¬°¡]¥ô·N«D¥¿¥æ¡^°ò©³ eμ ªº«Y¼Æ¡A¦]¦¹¥Î§@¹Ïªkµe¦V¶qªº¸Ü¡A¬O¦U°ò©³¦V¶q­¼­¿¼Æ«á¡A¥­²¾ÀY§À³s¡]¥­¦æ¥|Ãä§Îªíªk¡^¡C

¦Ó»P¨óÅܦV¶qªº¤À¶q Aμ «h¬O Aμ= A · eμ ¡C¡]ª`·N¦¹³B¤U¼Ðªº©ÓÄòªu¥Î¡^ ¡]À@§Îªíªk¡^

 

·Q·Q¬Ý¦b¤°»ò±¡ªp¤U¡AAμ »P A줣¦P¡H ¡]¦^¾Ð A = Aμ eμ= Aμ eμ¡^

(«Y¼Æªº­¿¼Æ»P§ë¼vªºªø«×«ç¼Ë·|¤£¦P¡A¤S»P¦V¶qªø«×ªºÃö«Y¬°¦ó¡H)

 

 

¤G¯Å±i¶q

Tμν = (∂x'α/∂xμ) (∂x'β/∂xν) T ' αβ

(¦¹¦¡½Ò¤å¨S¦L¦¨¤W¼Ð¡A¤p¤ß)

 

Tμν = (∂xμ/ ∂x'α) (∂x'β/∂xν) T 'αβ

¬Ý²M·¡¦³ prime ¤Î ¨S prime ¦ÛÅܼƥX²{¦b¤À¥À¤Î¤À¤l¦ì¸mªº³W«h¡A¤£­n²´ªá¤F¡C

 

¤@­Ó±i¶q©Ò±aªº¦Û¥Ñ«ü¼Ð¼Æ¥Ø¡A¥s°µ±i¶qªº¯Å©Î¶¥ (rank)¡C

 

±i¶q¶¡ªº°ò¥»¹Bºâ¡]»P©Ê½è¡^

¬Ûµ¥

¨C­Ó¤¸¯À¬Û¦P¡]¬Ûµ¥¡^

 

¬Û¥[

¦P­Ó¼Æ¤j¤pªÌ¤~¯à¬Û¥[¡A¥[§¹¤´¬O±i¶q¡C

 

¥~¿n

¤¸¯À¦U¦Ûª½±µ¬Û­¼¡C¨Ò¦p Aμνα »P Bβλ ¥~¿n±o C μλναβ¡C±i¶q¥~¿n¤´¬O¤@±i¶q¡C

 

ÁY¬ù (contraction)

¿ï¥X¤@¹ïªº¨óÅÜ¡]¤U¡^¡B¤Ï¨óÅÜ¡]¤W¡^«ü¼Ð¡A³]¦¨¬Û¦P¡A§Y¶i¦æ summation convention ¥[Á`¡C¤@­Ó±i¶qÁY¬ù¤§«á¤´¬O±i¶q¡C

 

¤º¿n

¥~¿n«á¿ï¤@¹ï¤W¤U«ü¼Ð«áÁY¬ù¡C

¡]¤@­Ó±i¶q´N¦n¹³¬O¦n´X­Ó¦V¶q¸j¦b¤@°_¡A¦]¦¹½Í¨ì­n°µ¤º¿n¡A¥i¦Û¤£¦Pªº«ü¼Ð§ä¤@¹ïÁY¬ù¡A­°§Cºû«×¡C¡^

«ä¦Ò¡G±i¶q¤º¿n¬OÁY¬ù¡A¦ÓÁY¬ù¶Èµo¥Í¦b¹ï¤@¤W¤@¤Uªº¹ï¼Ð«ü°t¡A¬°¤°»ò­n¤W¤U°t¤@¹ïªº¤~¥s¤º¿n¡H¤º¿nªº·N¸q»P¯S©Ê¬O¤°»ò¡H

 

¹ïºÙ©Ê»P¤Ï ¹ïºÙ©Ê

¦p Aαβ = Aβα¡A¥s°µ¹ïºÙ±i¶q

Aαβ = - Aβα ªÌ¡A¥s°µ¤Ï¹ïºÙ±i¶q

 

 

ª«²z¤¤ªº¨Ò¤l¡]¸É¥R¡^

¤¶¹q±`¼Æ εij

¼u©Ê±`¼Æ ηijkl

 

 

°Ó«ß¡]¿ï¡^

¥H¤W¤U«ü¼Ð¼g¥X¤§¶q Qα...μ... ¥¼¥²¬O±i¶q¡]¦]¬°¨Ó¦Û»P¨ä¥L±i¶q¦@²Õ¦¨¼Æ¦¡ªº½t¬G¡A³Ì¦³¦Wªº¨Ò¤l¬O §J¨½´µ¦hµáº¸²Å¸¹ Γijk¡A¨£«á¡^¡A¥H¤U¤èªk¥i§P©w¡G

X ¤£ª¾¬O§_¬°±i¶q¡A­Y X »P¥ô·N±i¶q¤§¤º¿n¤´¬° ±i¶q¡A«h X ¬°¤@±i¶q¡C

 

 

ÀH°ó´úÅç¡G

1. contravariant »P covariant ¦V¶q¦U»Ý¿í¦u¤°»ò¼Ë§Î¦¡ªº®y¼ÐÂà´«¡H

2.

 

 

 

© Ming-Hsien Lee