常微分方程
一階常微方
物理定律 (尤其是比較進階者) 很多是以微分方程 ( 常微分方程 及 偏常微分方程) 表示出來
名詞解釋
微分方程式：未知函數中以有微分符號出現的
常微分方程式：微分方程式之未知函數僅有單一自變數者
偏微分方程式：微分方程式之未知函數有兩個或以上自變數者
常微分方程式的階數 (order)：最高微分次數
常微分方程式的次數 (degree)：最高微分項的在 整體式子有理化之後 的 冪次
線性微分方程式：應變數或其導數在各項只出現一次，且次方是一次方。（見課本 p.63 之兩例）
線性的情況下，無應變數出現之項恰是零者（即不含僅自變數項），稱(線性、一階) )齊性(齊次) (homogenious)微分方程式。
註：齊性（齊次）有兩種意義，請見維基百科
對線性齊次的微分方程式而言，兩個解的線性組合仍是解。（問題：怎麼看出這是對的？）
求解
很多是很難推導求解的（需使用電腦數值求解）。
一階必可解，但解之型式未必是常見函數。
所謂解，也叫積分 (integral) ，就不會再帶有微分符號了。
n 階問題之解有 n 個待定(任意) 常數。（這與積分有關，或說源自常數之導數為零的本質。）
一階常微方：
dy/dx = -f(x,y)/g(x,y)
或寫成
g(x,y) dy + f(x,y) dx= 0
課本問題： dy/dx 可以就這麼拆開成 dy 、dx 嗎？物理學家把 dx、dy 想成 δx 、δy 就可以。
（以下介紹三種方法）
分離變數
Q(y)dy + F(x)dx = 0
分離後兩邊積分
（中間可能用到變換變數）
Ex 2.1 : 求解 dy/dx = - y2 ex
Ex 2.2 : 求解 dy/dx = 8x + 4y + (2x + y -1)2
Ex 2.3 : 求解 dy/dx = (y2 + xy) / x2
Ex 2.4 : 求解 dy/dx = (y + x -5) / (y - 3x -1)
Ex 2.5 : 求解 花式跳傘 者的落下情形。
正合 (exact) 方程式（形式）
想法：對任何雙變數函數 u(x,y)，有全微分 du = ∂u/∂x dx + ∂u/∂y dy 一定成立（why？想像 dx 與 dy 各自能變化，乘上斜率）
因此，想把 f dx + g dy 一舉寫成 du ，找 u 使得 ∂u /∂x = f ; ∂u /∂y = g 。
對於求解 dy/dx = -f(x,y) / g(x,y) 即 f(x,y)dx + g(x,y)dy = 0 ，若等號左為一全微分 du ，則可直接積分求解，其解為 u(x,y) = C。
也就是說，原式應具 du = (∂u /∂x ) dx + (∂u /∂y ) dy 之形式
這意味著，(∂u /∂x ) = f , (∂u /∂y ) = g
既然如此 ，必有 ∂f /∂y = ∂g /∂x ( 用到了偏微分在特定條件下可交換之特性）
問題 : 為何 (∂/∂x ) (∂/∂y ) f = (∂/∂y ) (∂/∂x ) f ?
解 y(x) 的策略現在轉為求解 u(x,y)，
試問：除了 du = f dx + g dy = 0 條件之外，還有什麼條件可讓我們求 u(x,y)？
答案：正合條件式(組)本身。
(∂u /∂x ) = f , (∂u /∂y ) = g
如此一來，會得兩個 u 的解，一個來自(∂u /∂x ) = f，積分得 u = ∫ f dx + c 1(y)，另一個來自(∂u /∂y ) = g，積分得 u = ∫ g dy + c 2(x)，但這兩個 u 是同一個函數，再組合即得 確定之 u。
Ex 2.6 : 檢驗方程式 xdy/dx + (x+y) = 0 之正合性並求解之
積分因子
不滿足正合方程式的一階微方, 還是存在一個積分因子（不是 y 的函數），使得乘 上去後為正合，只不過是此一積分因子，不一定容易找到。
如果待解的微分方程式是線性的（注意 f 與 g 裏頭都沒有 y 的相依性，即都不是 y 的顯函數），如
dy/dx + f(x) y + g(x) = 0
則必有一積分因子如下
e∫ f(x) dx
使正合方程式成立。（以下證明）
證明 I：假設 R(x) 就是我們要的積分因子， 乘入原式就會滿足正合條件，則我們有：
R(x) [dy/dx + f(x) y - g(x)] = 0，即
R(x) dy + [R(x) f(x) y - R(x)g(x)] dx = 0 = du = (∂u / ∂y ) dy + (∂u /∂x ) dx
則正合條件要求 ∂R(x) /∂x = ∂[R(x) f(x) y - R(x) g(x)] /∂y
上式 (正合條件式) 右手邊 = R(x) f(x) （因為第二項與 y 無關），而左手邊 = d R(x) / dx （因為只與 x 有關）
故有 dR(x) / dx = R(x) f(x) ⇒ dR / R = f(x) dx ⇒ ln R =∫ f(x) dx ⇒ R = e∫ f(x) dx ，得證。
證明 II：假設 R(x) 就是我們要的積分因子， 乘入原式就會滿足正合條件，則我們有：
R(x) [dy/dx + f(x) y] = R(x) g(x)，即 R(x) [dy + f(x) y dx] = R(x) g(x) dx，亦即
R(x) dy + R(x) f(x) y dx = R(x) g(x)
此式之等號右邊部分已經可積分，故僅需看左邊齊性式的部分。左邊要能達到正合的話，須滿足
∂[R(x) f(x) y]/∂y = ∂R(x) /∂x
上式 (正合條件式) 左手邊 = R(x) f(x) ，而右手邊 = d R(x) / dx （因為只與 x 有關）
故有 dR(x) / dx = R(x) f(x) ⇒ dR / R = f(x) dx ⇒ ln R =∫ f(x) dx ⇒ R = e∫ f(x) dx ，得證。
此因子 F 乘入後，成正合條件之微分方程式（記得：目標轉為求解 u(x,y)）（其中 F = ∫ f(x) dx ）
原問題式 dy/dx + f(x) y = g(x)
成為 d (y eF) / dx = g(x) eF （請自行驗算看看 d (y eF) / dx 微分出來會是什麼，即知為何此式成立）
d [y e∫f(x)dx] / dx = g(x) e∫f(x)dx
⇒ y e∫f(t)dt = ∫ g(x) e∫f(x')dx' dx + C
⇒ y = e-∫f(x)dx [∫ g(x) e∫f(x')dx' dx + C ]
（提醒：積分因子與 g(x) 無關）
Ex 2.7 : 確認 xdy / dx + 2y + x2 = 0 不滿足正合方程式 , 並找一個積分因子使之正合並求解。
（註：課本使用 有理化成 之後 dy / dx + (2/x)y + x = 0，取用 f(x) = 1/x 是不對的，應該遵照原公式使用 f(x) =2/x，得積分因子 x2 ，再乘回 有理化 之式子。課本例題作法只是巧合成立，若題目改為 xdy / dx + 3y + x2 = 0 ，大家就會發現課本例題中的作法不能適用。）
Ex 2.8 RL 電路求 解隨時間改變的電流 I(t)
白努力方程式（選）
dy / dx + f(x)y = g(x)yn
常見於物理問題中，是一個非線性一階微分方程式。
我們可透過設 w = yα ，其中 α = 1 - n，使原式化為 "線性" 一階常微方
dw/ dx = (1 - n) f(x) w = (1 - n) g(x)
上式之積分因子為 eint(1-n)f(x)dx
隨堂測驗
一、能用分離變數法求解的一階微方式，應具有何種形式？
二、符合正合方程式條件的一階微方式，其通解為何？