常微分方程：級數解
有時 ODE 的解不恰好是少數常見函數的組合，它們有透過級數表出 的機會。了解求此 級數解如何可以被求得，則是本節的學習目標。
預備知識（微積分教科書）：數列與級數、級數的斂散性（收斂發散性）測試。
回顧：何謂級數？會收斂的與不收斂的級數有何不同？
以 y'' + y = 0 為例：
假設解可表為 y = a0 + a1 x + a2 x 2 + a3 x 3 + ...
如何求出 a0、a1、 a3 ...
因為有無限多個，要有規則的才能解得出
關鍵 1：待定之解係數有一系列固定的關係（將解的級數形式代入原方程式會滿足）
關鍵 2：對解 y(x) 而言，x 不管變動皆是解，提供了足夠多的條件式以定出 a0、a1、 a3 ...
課本詳細地解出（見之 p.85）
y = a0 ( 1 - x2/2! + x4/4! - x6/6! + ... ) + a1 (x/1! - x3/3! + x5/5! - ... )
事實上，兩個刮號裏面的東西就是正弦與餘弦函數的泰勒展開
（何謂 泰勒展開式？上次講過了。另見微積分課本或 維基百科，重要。）
二階（未知函數微分兩次）線性（一次方）ODE 的級數解
二階線性 ODE 一般性形式為
y'' + P(x) y' + Q(x) y = 0
思考：上式要有想要有級數解，P(x)、Q(x) 要符合什麼特性？
（提示：表成級數）
Frobenious and Fuchs 定理
P(x) 、Q(x) 在 x = α 處能否寫出可收斂的泰勒展開，決定了有無級數解（課本不介紹證明）
能泰勒展開 regular point
不能泰勒展開 signular point
P(x) = λ(x) / ( x-α) 且 Q(x) = μ(x) / ( x-α)2，那點叫 "regular" sigular point
分三種情況
(1) P(x)、 Q(x) 都是 regular
ODE 有兩個相異解，
y(x) = Σn=1∞ aλ (x - α)λ
(2) sigular point is regular (即 λ(x) 、μ(x) regular)
y(x) = Σn=1∞ aλ (x - α) λ+ ρ
其中 ρ 為某常數
(3) λ(x) 、 μ(x) singular
Ex 2.14
找 4x y'' + 2y ' + y = 0 的通解
把最低次 x 次方係數整理出，並且體認 a0 不為零，就有 indicial equation (http://mathworld.wolfram.com/IndicialEquation.html)
4ρ (ρ -1) + 2 ρ = 0
即 2 ρ ( 2 ρ - 1 ) = 0 ，如此得兩個根 ρ = 0 及 ρ = 1/2
上例屬 indicial equation 有兩相異根之情形， 一個 ODE 仍另有 (a) 重根以及 (b) 兩根差一整數的狀況。
實例推導
x2 y'' + x g(x) y' + h(x) y = 0
其中 g(x) 與 h(x) 在 x=0 處無限次可微 (叫 analytic)
注意上式寫成 y'' + P(x)y' + Q(x)y = 0 乃屬 reqular sigular point 類別，故其通解有
y(x) = xr Σm=0∞ am xm
Case 1（相異根、不差整數）
兩個解線性獨立，因 y1/y2 非常數
Case 2（重根）
先得 y1(x)
再令 y2(x) = u(x) y1(x) ，代回原 ODE ，利用原 y1(x) 已是解的條件，寫下 u'' 及 u' 所須滿足的方程式，如此粗略地求得 u(x) 應有的形式（低階項具體得到）而獲得得 u(x)y1(x) 的 具體形式。
Case 3 （相異根、差一整數）
類似重根情形，先得 y1(x)
（學數學，是推導比較重要？還是創意比較重要？）
Ex 2.15 （indicial equation 兩根差一個整數的例子）
x2 y'' + x y' + (x2 - 1/4) y = 0