同時 (OD) 方程式、Gamma 函數
同時 (OD) 方程式
有時候,待解的函數不只是 ODE,還以聯立方式出現,形式為線性者,可輕易求解。
下兩式聯立(其中 D = d / dt)
Dx + 2y + 3x = 0
3x + Dy - 2y = 0
整理成
(D + 3)x + 2y = 0
3x + (D -2)y = 0
第一式同乘 (D -2)、第二式同乘 2
(D -2 )(D + 3)x + 2 (D -2)y = 0
6x + 2 (D -2)y = 0
得
(D -2 )(D + 3)x - 6x = 0
即 (D2 + D - 12) x = 0
可輕易解得 x(t) = A e3t + B e-4t
(上式一定不能不會求解)
再代回求 y(x) ,得 y(x) = -3 A e3t + (1/2)B e-4t
Gamma 函數
在此介紹中高階數學常用的函數,Gamma 函數,先說階層(factorial)
n! = n (n-1) .... (2) 1
但 上式只適用於 n 是正整數的情形。Gamma 函數為其推廣。
Γ(α) ≡ ∫0∞ e-x xα-1 dx
其中 alpha > 0
可輕易驗證 Γ(1) = 1
故 Γ(n) = (n - 1)!
,以及
Γ(α+ 1) = α Γ(α)
若需算 Γ(7/2)
Γ(7/2) = (7/2) (5/2) (3/2) Γ(1/2)
需算 Γ(1/2)
Γ(1/2) 的作法如下:
令 u = + √x
Γ(α) = 2∫0∞ e-u2 u 2α-1 du
Γ(1/2) = 2∫0∞ e-u2 du = √π
(這是有名的高斯積分,作法要記,見 http://en.wikipedia.org/wiki/Gaussian_integral )
對 α 值是 0 到 1 之間, Γ(α) 可查表
α 是負值時,利用前面之 Γ(α+ 1) = α Γ(α)
有 Γ(α) = Γ(α+ 1) / α
Γ(-3/2) = (-3/2) Γ(-1/2) = (-3/2) (-1/2) Γ(1/2)
當 α -> 0, Γ(α) 發散,故 Γ(0) 無定義。
Ex 2.16 (課本誤植 2.15)
Beta 函數 (選)
B(p, q) = ∫01 tp-1 (1-t)q-1 dt
經由變數變換(見課本),有
B(p, q) = B(q, p)
B(p, q) = Γ(p) Γ(q) / Γ(p + q)