同時 (OD) 方程式、Gamma 函數

 

同時 (OD) 方程式

有時候,待解的函數不只是 ODE,還以聯立方式出現,形式為線性者,可輕易求解。

 

下兩式聯立(其中 D = d / dt)

Dx + 2y + 3x = 0

3x + Dy - 2y = 0

 

整理成

(D + 3)x + 2y = 0

3x + (D -2)y = 0

 

第一式同乘 (D -2)、第二式同乘 2

(D -2 )(D + 3)x + 2 (D -2)y = 0

6x + 2 (D -2)y = 0

 

(D -2 )(D + 3)x - 6x = 0

 

即 (D2 + D - 12) x = 0

可輕易解得 x(t) = A e3t + B e-4t

(上式一定不能不會求解)

 

再代回求 y(x) ,得 y(x) = -3 A e3t + (1/2)B e-4t

 

 

Gamma 函數

在此介紹中高階數學常用的函數,Gamma 函數,先說階層(factorial)

n! = n (n-1) .... (2) 1

但 上式只適用於 n 是正整數的情形。Gamma 函數為其推廣。

 

Γ(α) ≡ ∫0 e-x xα-1 dx

其中 alpha > 0

可輕易驗證 Γ(1) = 1

故 Γ(n) = (n - 1)!

,以及

Γ(α+ 1)  = α Γ(α)

 

若需算 Γ(7/2)

Γ(7/2) = (7/2) (5/2) (3/2) Γ(1/2)

需算 Γ(1/2)

Γ(1/2) 的作法如下:

令 u = + √x

Γ(α) =  2∫0 e-u2 u 2α-1 du

Γ(1/2)  = 2∫0 e-u2 du = √π

(這是有名的高斯積分,作法要記,見 http://en.wikipedia.org/wiki/Gaussian_integral

 

對 α 值是 0 到 1 之間, Γ(α) 可查表

 

α 是負值時,利用前面之 Γ(α+ 1)  = α Γ(α)

有 Γ(α) = Γ(α+ 1)  / α

Γ(-3/2) = (-3/2) Γ(-1/2) = (-3/2) (-1/2) Γ(1/2)

 

當 α  -> 0, Γ(α) 發散,故 Γ(0) 無定義。

 

Ex 2.16 (課本誤植 2.15)

 

 

Beta 函數 (選)

B(p, q) = ∫01 tp-1 (1-t)q-1 dt

 

經由變數變換(見課本),有

B(p, q) = B(q, p)

 

B(p, q) = Γ(p) Γ(q) / Γ(p + q)