厄米特(遜)矩陣、(轉動)正交矩陣

矩陣取共軛複數

假設 矩陣 A 有各元素 (A)_ij = a_ij ，則 A 之共軛複數是每一個矩陣取共軛複數，即  (A*)_ij = a_ij*

 

Hermitian Conjugate

除了共軛複數外，再取轉置（取 共軛複數與轉置的順序不拘，無差別）

符號常用短劍號 (dagger) †，如 M^†

M^*T = M^†

即 (A^† )_ij = a_ji*

 

有時用 A⁺ 符號

 

有特性 (AB)⁺ = B⁺ A⁺

Hermitian Matrix (有些書翻成：厄米特矩陣)

能滿足 H^†= H 者，稱之。（也可定義為，A^T = A* 者）

 

可想像 Hermitian Matrix 的對角線上元素必為實數

 

兩個 Hermitian Matrix 的乘積不一定是 Hermitian，除非它們可對易（想想 (AB)⁺ = B⁺ A⁺ 的特性）。

 

另外，滿足 A⁺ = -A 的矩陣，叫 anti-hermitian 矩陣，也叫 skew-hermitian 矩陣。（見課本定義例 p.115）

 

 

(實數) 正交矩陣

一般談到正交矩陣，是元素全實數的版本。

定義

m×n 矩陣 A 滿足 AA^T = I_n、A^TA = I_m 者

若 m = n，

AA^T = A^TA = I 而有 A^T = A^-1，這是常見的定義（即直接對方矩陣定義）

 

旋轉(轉動)矩陣即為一例

 

特性

其組成的各列向量間正交

Σ_k a_ik a_jk = δ_ij

、各行向量間也正交

Σ_k a_ki a_kj = δ_ij