(座標)正交、么正、相似轉換
什麼是 Transformation ？
Transformation 翻譯作 轉換（或變換）
常指把一個東西變成另一個同質的東西
么正矩陣
定義
Hermitian conjugate 為 inverse 者稱之，即 U+ = U-1 者，U 為一個么正矩陣。
（由 一個或一連串么正矩陣所構成的轉換，叫做么正轉換。）
特性
么正轉換下向量的 norm ，即 | v | ，也就是 "長度"
例 : 1/√2 [ [1, i], [i, 1] ]
由於 det(U+) = det (UT*) = det (U*T) = det(U*) = det (U)*
有 det (U+ U) = det det (U+) det(U) = det(U)* det(U) = det (I ) = 1
( 補充 : a* a 常寫作 | a |2 , 同理 v+ v = v*T v = | v |2 )
即 det(U) = eiα ，其中 α 為某實數
前面提過的正交矩陣，是么正矩陣在純實數形的特例。（回憶，OT = O-1, UT* = U-1）
么正矩陣的各列與各行之間，有複數向量的正交關係如下
Σk uik ujk* = δij 、 Σk uki ukj* = δij
旋轉矩陣 與 (座標)正交轉換
在空間中將一個物件以某點為中心轉動（有改變物體的位置），或對座標軸旋轉，而使座標變換（未改變物體的位置），皆可使用矩陣對向量的運算來達成。
以座標軸旋轉，而使座標變換為例，
想知道各 xi 與各 x'i 之間的關係，
利用正交關係 ei' · ej' = δij
有 x1' = r · e1'
同理寫出 x2'、x3'
相當於有 (下式僅將 r 以 e 基底展開)
(式 1)
以上建立了座標 x' 與座標 x 的關係式，
注意這裏 λij 是很簡潔地來自轉動前後基底向量（座標軸單位向量）的內積，如下
x "旋轉" 到 x' 的表示法，以 矩陣-向量 乘積表示法如下：
提醒，如果是藉由轉動而把物體的座標軸位置改變，
就是座標位置有變換者，上述公式仍適用。
從
可得（詳見課本）
亦即旋轉矩陣行向量間、列向量間 正交歸一。
矩陣的 Trace
Tr A = Σi aii
可證明有限個矩陣乘積在 cyclic permutation 下其 trace 不變 （見習題）
正交與么正轉換
前面介紹的線性轉換 x' = O^ x （即 (式 1) ）是一種正交轉換
另一種轉換也很有用，叫作么正轉換
Y = U X
Y† Y = X† U † U X = X† X
可見保持 norm 不變
相似轉換
思考：
線性轉換（如座標軸旋轉）下，會使
可能想法之一：矩陣不是向量，不必遵守向量的座標轉換規則，故不變動。
可能想法之二：我們要維持某些方便的數學規則繼續可以使用，因此矩陣也要跟著轉換。
問題：什麼是那個我們想繼續保有的矩陣規則？
四步分段想法：
(1) 被矩陣作用過後的向量 v 本質上即會是另一個向量 u（即 u = Mv）而非純量等非向量物件。 v 經歷了如座標旋轉般的線性轉換，
(2) 既然 (如座標旋轉般的) 線性轉換 把 v 轉到 v'（關係式 v' = S v），就也會把 u 轉到 u' （關係式 u' = S u）
(3) 前己知，原座標系內（即未轉換下）u = M v
(4) 我們自然是預期 u' = M' v'，其中 v' = S v 且 u' = S u'
那麼，要怎樣把 M 變換至 M' 才能保證 u' 的確是 u' = S u 呢？
答案就是，每當向量被乘上矩陣 S 作變換，矩陣 M 就要改造成 M' = S M S-1
如此的確保證 u' 是同一個東西 ，這種對 M 的轉換 S M S-1，叫做 "相似轉換"。
（問題：那原變換矩陣 S 會不會被自己影響到，就不再是 S 而予盾了？答案是不會，因為 S S S-1 = S 仍然一樣，故無予盾。）
特性：在相似轉換下，矩陣-向量 乘積關係式不變。
證明： A R = B r 關係式在相似轉換下不變。
（詳見課本 p.123）
A' = SAS-1、R' = SR，B' = S B S-1、r' = S r
得 A' R' = B' r'
形式不變得證
重要：相似轉換也因此會保守本徵值（即 Ax = λx 的問題，見下節），基於此一特性，它在找一組新基底，而將矩陣角化的過程中，會很有用。
