(座標)正交、么正、相似轉換

 

什麼是 Transformation ?

Transformation 翻譯作 轉換(或變換)

常指把一個東西變成另一個同質的東西

 

 

么正矩陣

定義

Hermitian conjugate 為 inverse 者稱之,即 U+ = U-1 者,U 為一個么正矩陣。

(由 一個或一連串么正矩陣所構成的轉換,叫做么正轉換。)

 

特性

么正轉換下向量的 norm ,即 | v | ,也就是 "長度"

例 : 1/√2 [ [1, i], [i, 1] ]

 

由於 det(U+) = det (UT*) = det (U*T) = det(U*) = det (U)*

有 det (U+ U) = det det (U+) det(U) = det(U)* det(U) = det (I ) = 1

( 補充 : a* a 常寫作 | a |2 , 同理 v+ v = v*T v  = | v |2 )

即 det(U) = e ,其中 α 為某實數

 

前面提過的正交矩陣,是么正矩陣在純實數形的特例。(回憶,OT = O-1, UT* = U-1

 

么正矩陣的各列與各行之間,有複數向量的正交關係如下

Σk uik ujk* = δij 、 Σk uki ukj* = δij

 

 

旋轉矩陣 與 (座標)正交轉換

在空間中將一個物件以某點為中心轉動(有改變物體的位置),或對座標軸旋轉,而使座標變換(未改變物體的位置),皆可使用矩陣對向量的運算來達成。

以座標軸旋轉,而使座標變換為例,

想知道各 xi 與各 x'i 之間的關係,

利用正交關係 ei' · ej' = δij

有 x1' =  r · e1'

同理寫出 x2'、x3'

相當於有 (下式僅將 re 基底展開)

 (式 1)

以上建立了座標 x' 與座標 x 的關係式,

注意這 λij 是很簡潔地來自轉動前後基底向量(座標軸單位向量)的內積,如下

x "旋轉" 到 x' 的表示法,以 矩陣-向量 乘積表示法如下:

 

提醒,如果是藉由轉動而把物體的座標軸位置改變,

就是座標位置有變換者,上述公式仍適用。

 

可得(詳見課本)

亦即旋轉矩陣行向量間、列向量間 正交歸一。

 

 

矩陣的 Trace

Tr A = Σi aii

可證明有限個矩陣乘積在 cyclic permutation 下其 trace 不變 (見習題)

 

 

正交與么正轉換

前面介紹的線性轉換 x' = O^ x (即 (式 1) )是一種正交轉換

另一種轉換也很有用,叫作么正轉換

Y = U X

Y Y = X U U X = X X

可見保持 norm 不變

 

 

相似轉換

思考:

線性轉換(如座標軸旋轉)下,會使

可能想法之一:矩陣不是向量,不必遵守向量的座標轉換規則,故不變動。

可能想法之二:我們要維持某些方便的數學規則繼續可以使用,因此矩陣也要跟著轉換。

 

問題:什麼是那個我們想繼續保有的矩陣規則?

四步分段想法:

(1) 被矩陣作用過後的向量 v 本質上即會是另一個向量 u(即 u = Mv)而非純量等非向量物件。 v 經歷了如座標旋轉般的線性轉換,

(2) 既然 (如座標旋轉般的) 線性轉換 把 v 轉到 v'(關係式 v' = S v),就也會把 u 轉到 u' (關係式 u' = S u)

(3) 前己知,原座標系內(即未轉換下)u = M v

(4) 我們自然是預期 u' = M' v',其中 v' = S v 且 u' = S u'

 

那麼,要怎樣把 M 變換至 M' 才能保證 u' 的確是 u' = S u 呢?

答案就是,每當向量被乘上矩陣 S 作變換,矩陣 M 就要改造成 M' = S M S-1

如此的確保證 u' 是同一個東西 ,這種對 M 的轉換 S M S-1,叫做 "相似轉換"。

 

(問題:那原變換矩陣 S  會不會被自己影響到,就不再是 S 而予盾了?答案是不會,因為 S S S-1 = S 仍然一樣,故無予盾。)

 

 

特性:在相似轉換下,矩陣-向量 乘積關係式不變。

證明: A R = B r 關係式在相似轉換下不變。

(詳見課本 p.123)

A' = SAS-1R' = SR,B' = S B S-1r' = S r

得 A' R' = B' r'

形式不變得證

 

重要:相似轉換也因此會保守本徵值(即 Ax = λx 的問題,見下節),基於此一特性,它在找一組新基底,而將矩陣角化的過程中,會很有用。