傅立葉級數：正交函數與傅立葉級數

正交向量基底的方便性

正交就是

a · b = 0

基底會有

e_i · e_j = δ_ij 

任何向量可寫成

v = v_x e_x + v_y e_y + v_z e_z = Σ_i v_i e_i

其中 v_x = v · e_x  、 v_y = v · e_y、 v_z = v · e_z

上式是可證的，v = Σ_i v_i e_i  兩邊同時內積 e_i 即得。

 

用 bracket 符號 < > 再寫一次

< a | b > = 0

< e_i | e_j > = < i | j > = δ_ij

| v > = Σ_i v_i | e_i  > = Σ_i | e_i > < e_i | v >  = Σ_i < e_i | v > | e_i > 

其中

I = Σ_i | e_i > < e_i |

 

函數也可定義正交

正交就是

∫ f(x) g(x) dx = 0

基底會有

∫b_i(x) b_j(x) dx = δ_ij 

任何函數可寫成

f(x) = Σ_i^∞ c_i b_i(x)

其中

c_i = ∫b_i(x) f (x) dx

上式是可證的，f(x) = Σ_i^∞ c_i b_i(x) 兩邊同時內積 b_i(x) 即得。

 

用 bracket 符號 < > 再寫一次

< f | g > = 0

< b_i | b_j > = δ_ij

| f > = Σ_i c_i | b _i  > = Σ_i < b _i | f > | b _i >  = Σ_i | b _i > < b _i | f > 

其中

I = Σ_i | b _i > < b _i |

 

令人驚訝的結構類比 (函數像是無窮維度的向量)

正交函數的實例：倍數頻率的三角函數之於週期性函數

週期性函數 f(x) 意指，存在一週期值 P，使得 對任何 x，皆成立

f(x + P) = f(x) 

則此 f(x) 可用系列 週期為 P、P/2、P/4 ... 的三角函數 ( 保證滿足 sin k (x+P) = sin(kx) )，展開成為

f(x)  = a₀ + Σ_m=1^∞ a_m cos(m k x)   + Σ_n=1^∞ b_n sin(n k x)

註：怎麼讓 sin (x) 具有特定週期 P？取 sin (kx) , 其中 k = 2π / P ，則保證 x = P 時，kx = 2π

其中 (見課本)

a₀ = ∫

a_m =

b_n =

用函數正交性可證上面三式

既然 a₀、a_m 、b_n皆有明確定義，證明 週期函數 f(x) 一定 可由上述三角函數展開。

基本能力

∫_-P/2^P/2 sin(nkx) sin(mkx) dx  = ? = P/2

∫_-P/2^P/2 sin(nkx) cos(mkx) dx = ? = 0

如何算？

 

傅立葉級數的收歛性

凡是無窮級數，皆需要擔心收歛與否的問題。

小故事：傅立葉的新數學一開始沒被法蘭西科學院接受，就是因為沒辦證明級數會收斂。(在數學上這是很嚴重的問題)

能使用傅立葉級數的 (部分) 條件，最先由 Dirichlet 找到並證明：

簡言之：函數及其導函數是 "片段連續性" (piece-wise continous)

若滿足，則對於原函數上連續的點 x，傅立葉級數會收斂到 f(x)；對於原函數上不連續的點 x ，傅立葉級數會收斂到 [ f(x+ε) + f(x-ε) ] / 2 ，即兩側值的中間點。

 

Parseval 恆等式

很像長度守恆的概念 (以下直接截自課本)