Gibbs 現象、 振動弦、RLC 迴路

Gbbs 現象 (一個存在的限制)

在不連續處兩側，傅立葉展開函數振幅大於 (overshoot，高估) 原函數，無論用多少項皆然，稱為 Gbbs 現象。

(另外，在不連續處，傅立葉展開函數通過中間值。)

( 10 項 )

( 50 項 )

( 250 項 )

詳見 http://en.wikipedia.org/wiki/Gibbs_phenomenon

 

 

問題：一個平面波（波列 wave train）是一週期性函數，它的富利葉轉換是什麼？

 

 

物理問題求解：振動弦

對於在 x 處的微小段 dx，左側張力 P(x)、 右側張力 P(x+dx)，又張力僅存於弦的切線方向，故張力變化會反映在弦的外形（彎曲角度上），藉此寫下 x 與 y 的力分量：

對小振幅（即小角度），有

則 y 方向力的表示可簡化為

m a = f 的運動方程式，則寫為

注意上式對時間微分兩次，對空間微分兩次，是波動方程式的特有形態，其中波速出現在與時間相乘的因次上，很好記。

對於振盪弦（如弦樂器），兩端固定，則寫成以下條件：

 

求解波動方程式

分離變數

假設原解可寫為 y (x, t) = X(x) T(t)，則

(1/X) d²X/dx² = [1/(v²T)] d²T/dt²

怎可能相等？唯有等於共同常數

 

各別求解

組合

 

邊界條件引入

通解置入

係數確定

 

補充：上例為 y 方向，那 x 方向呢？

fig_1，fig_2，fig_3

P wave, S wave

primary wave, secondary wave

pressure (compression) wave, shear wave

物理問題求解：RLC 迴路

化成全以電流為未知數

 

stady-state 情況

頻率與外部輸入同步

 

詳解見課本