富利葉積分與富利葉轉換

富利葉級數僅適用於週期性函數，但有許多物理及工程上重要的問題並不是週期性函數，我們可藉由將週期趨於無限大的方式，來推廣此一方法至無限。

見課本例 Ex. 4.5、Ex. 4.6。

原級數

f(x) = Σ_n=-∞^∞ c_n e^iωx

c_n = 1/(2L)∫_-L^L f(x) e^iωx dx

其中 ω = nπ / L （回想富利葉級數的定義，2L 是函數 f(x) 的週期）

推廣為（過程見課本 p.165, p.166）

c(ω) = 1/(2π) ∫_-∞^∞ f(x) e^-iωx dx

f(x) = ∫_-∞^∞ c(ω) e^iωx dω

 

如此，得到像是 f(x) -> g(ω)、g(ω) -> f(x) 的關係式，因此叫做富利葉轉換。大家應意識到，轉換在此的意義，這是同一個東西的不同表象。

常被記為 g(ω) =  F{f(x)} 、 f(x) = F^-1{g(ω)}

要成立富利葉轉換關係，自然 f(x) 需為一可積分函數（細節見課本），而一個充分條件是， ∫_-∞^∞ | f(x)| dx 值存在。

 

若 f(x) 為實數值函數，（依定義則）則 g(-ω) = g*(ω)

直接衍生出兩個餘定理如下：

(1) 若 f(x) 是偶函數， g(ω) 為實數。

(2) 若 f(x) 是奇函數， g(ω) 為純虛數。

Ex. 4.7 常態分佈函數（高斯函數）的富利葉轉換（重要）

Ex. 4.8 可代表單一脈衝的 Box Function

Ex. 4.9 截段的諧振波

Δω = 2π/ T ，或 T Δν = 1 ，兩邊同乘普朗克常數得 Δt ΔE = h 。這是驚人的巧合嗎？ （課本接著還有討論空間版本）

 

（從上面這三個例子，我們學到了什麼？）

海森堡測不準原理

（自行閱讀）

 

波包與群速度

（自行閱讀）