直流電路

克西夫荷定則 (rules)

為了求解以下電路，必須使用克西荷夫定則。

 

Kirchhoff's Junction Rule （接點定則）

在接點處，電流總和為零

Σ_k I_k = 0

（這可以透過電荷守恆，且導線上任意處電荷不累積來理解。有點像流體的連續方程式）

 

Kirchhoff's Loop Rule （迴路定則）

任何迴路上（順著同一繞行方向）所有元件的電位降總和為零

單迴路(圈)電路

見課本內文及範例（注意正負號）

正負號設定規則

假設電流方向為順時針方向，從迴路定則有（從 a 點出發依序）

V_emf,1 - i R₁ - i R₂ - V_emf,2 = 0

則

i = ( V_emf,1 - V_emf,2 ) / ( R₁ + R₂)

如果一開始電流方向為假設逆時針，其結果也是會全一樣的（很簡單，請自行驗證）

例題 SP 26.1：給（有內電阻的）電池充電

多迴圈電路

任意假設兩接點之間的電流（如下），利用克西荷夫接點定則與迴路定則，寫下一條條方程式

b 點：i₂ = i₁ + i₃

a 點：i₁ + i₃ = i₂ （與上式資訊相同）

b 點起左迴路逆時針：-i₁R₁ - V_emf,1 - i₂R₂ = 0

b 點起右迴路順時針：-i₃R₃ -V_emf,2 - i₂R₂ = 0

b 點起外迴路順時針：-i₃R₃ -V_emf,2 + V_emf,1 + i₁R₁ = 0 （未提供更多資訊）

 

三條方程式可解出三個未知數 i₁、 i₂ 、 i₃。

 

問題：任何複雜的迴給都可解嗎？

 

分析：

每個迴路不是只有一個未知電流

每加一條線，就增加兩個 T 型接點（每個 T 型接點有三條路，一對 T 型接點造成三條迴路），在此例就多了兩個未知電流，也多一個迴路。

未知數從一個，增加了兩個，變三個

條件數從一個（迴路）增加了兩個（一迴路、一接點、一冗覆接點），成為一共三個

未知數的數目等於方程式的數目，恰可解出。

如果一個多重迴路中有 n 個接點，則一般而言會有 n - 1 條獨立的條件可得自 junction rule。

 

N 個未知數、N 條線性方程式，可用標準的線性代數方法解得。

 

解電路問題的一般性觀察

節點越多，未知電流數越多，假設有 k

n 個 (T 型) 接點就有 3 n / 2 個未知電流（n 是偶數）（因為知道兩個電流就唯一決天剩下的第三個）

而 n 個 接點通常僅代表有 n - 1 個 junction rule 條件

剩下的條件要由 loop rule 來提供。loop 有多種選法，通常可用的條件會超過未知電流的數目。因此，取到夠用即可。尤是天應該儘量取簡單若迴路，求解上比較單純。

以上圖為例，六個未知，三條方程式本自 junction rule，剩下（只取）三個本自 loop rule。

 

 

 

例題 SP 26.2：惠斯登電橋（變動 Rv 使安培計上的電流為零，可測 R_u）

R_u = ( R₁/ R₃ ) R_v

安培計與伏特計

安培計與伏特計在迴路中的用（接）法如下：

安培計與迴路串接、伏特計與待量元件並接。

由於我們希望測量本身儘量少干擾到被測量的對象，因此安培計若內電阻要很小 ( 如  1Ω )，而伏特計的內電阻要很大 ( 如 10 MΩ )。

數位式的萬用電錶 (multimeter) 會量電位差也會量電流，因此可切換為安培計或伏特計。也有電阻計 （歐姆計）(ohmmeter) 的功能，查斷路很有用。

 

 

Galvanometer （指針式）電流計

安培計及伏特計都是電流計的應用（回憶：電流比較容易量），而電流計的原理則衍生出更多高科技的應用，如動作偵測。

http://en.wikipedia.org/wiki/Galvanometer

http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/magnetic/galvan.html

 

例題 26.2 使用伏特計（量電壓對電流的影響）

例題 SP 26.3：安培計之可量電流型範圍若切換

RC 電路

電流的大小會隨時間變化，要用微分方程式來處理。

電容器充電

充電完成後，q_total = C V_emf ，迴路上無電流。

充電過程中，電位時時刻刻要滿足（套用迴圈律以反時鐘繞行），上圖 26.20 (b)

V_emf   - V_R - V_C = 0

其中 V_C  是跨電容的電位降， 也就是

V_emf - i(t) R - q(t) / C = 0

即

d q(t) / dt + q(t) / RC  = V_emf / R

只有指數函數其微分還是指數函數，故 f + f' = 0 的通解是 f(x) = f₀ e^-x

原公式尚有一與自變數無關的常數（函數）項，故解形式我們預期還有一個常數項。總通解的形式為

q(t) = q_max (1 - e^-t/τ)

其中 τ 要藉由將通解代入微分方程式中求出

τ= R C

而 q_max 則是由條件（初始條件）來決定

q_max = C V_emf

如此

q(t) = C V_emf ( 1 - e^-t/RC )

i(t) = d q(t) / dt  = (V_emf / R) e^-t/RC

其隨時間變化的圖形，見圖 26.21

 

電容器放電

以順時鐘方向電流來看，loop rule 得

- i R - V_C = 0（已經沒有電接著了）

- i(t) R - q(t) / C = 0

d q(t) / d t + q(t) / RC = 0

對照充電的情形，解為

q(t) = q_max e^-t/RC

i(t) = d q(t) / dt = - (q_max/ RC ) e^-t/RC

 

RC 迴路的時間常數，就是乘積 R C （其意義接近放射性物質的半衰期）。

 

例題 26.3 ：電容器充電所需的時間

 

心律調整器

心電圖 (ECG or EKG)

例題 26.4 ：心律調整器的元件（見課本詳解）

思考：電磁波攻擊，會不會影響出心律調整器？

 

 

神經元

myelin sheath 髓鞘 功能：提昇傳導，減少耗能

axon (神經細胞之) 軸索

dendritie (神經細胞的) 樹狀突

神經訊號的傳導在同一個細胞上是一種電化學機制，藉由膜電位 (Na+, K+, Cl- 濃度) 的改變來傳過軸索

神經元是經由自己的樹狀突，從其他很多神經細胞處收集到的訊號大小總和，來決定觸發訊號的轉送 (後續傳送) 與否，

觸發的前與後涉及充電與放電，此一過程可簡化地視為以下迴路

t = 0 時， V_out - V_in ≠ 0 開始充電 ，t = 30 ms 時觸發， V_out - V_in = 0 開始放電。

 

 

 

電子電路玩具 EX-150

http://www.youtube.com/watch?v=6r98FZq2A4I

http://www.youtube.com/watch?v=iNfTL3Kw4hQ