羅勞倫玆轉換的推導 與 時空間距不變性的證明

 

羅勞倫玆-明可夫斯基 轉換公式

又，其反轉換是：

為什麼轉換公式是這個樣子？

（上面的公式，假設 t = 0 時兩個座標系的原點重合）

這裏面，位置轉換類似長度縮約，直觀上似乎容易理解。但時刻轉換裏有一個 vx / c2，如果在 x = 0 處，則 會簡化，但 也不像是時間膨脹。

 

轉換公式的導出

Bauser & Westfall 教科書採取 American Journal of Physics, Vol 75, 7 (2007) p.615 的一篇推導，如下：

沒 prime 座標系看到一個事件 E，發生在 (x, y , z) 處及 t 時刻。

另一座標系（打 prime）與沒 prime 座標系在 y、z 剛好重合， 其原點 O' 與沒 prime 系原點 O 在 t = 0 時重合，但有 v 的相對速度。因此，OE 線段 (向量) 等於 OO' 加上 O'E，這個結論是兩個座標系觀察者都會承認的事實，接著就是要表示出這兩個座標糸各自看到的關係式。

在沒 prime 座標系，這是 x = v t + x' /γ ，長度縮約的知識用上去了。

至於有 prime 座標系，這是 x /γ = v t' + x'，一樣因為長度縮約。

接下來開始整理，第一式左右同乘 γ 後沒 prime 全移左邊得 γ ( x - vt ) = x' ，得到轉換式空間的部分，順便叫作 (a) 式。

同法將第二式兩側同乘以γ，就直接得到逆轉換式空間的部分 x = γ( x' + v t' )，順便叫作 (b) 式。

剩下最令我們奇怪的時間部分，推法如下：

(b) 式中即有 x' 也有 t'，但我們不想要關係式中有 x'，這能移項出 t' = ... 這樣的時間部份的轉換公式，因此剛好可以利用 (a) 式中完全表示的 x'，把 x' 即式 (a) 代入式 (b) 之中，得到 prime 座標分量僅留 t' 的關係式

x = γ(γ ( x - vt ) + v t' )

即

t' = [x/γ- γ ( x - vt )] / v

= [(x/v) / γ- γ( (x/v) - t) ]

= γ[ (x/v) / γ2 - (x/v) + t ]

= γ[ (x/v) (γ-2 - 1) + t ]

其中 γ-2 - 1 依定義就是 [ (1 - v2/c2) ] - 1 = -v2/c2

乘上 (x/v) 後變成 -xv/c2

因此原式得證（正轉換時間部分）為

t' = γ( -xv/c2 + t )

 

 

原課本的引用與推導，供參考：

 

時空間距不變性的證明

時空間距的定義，是

s2 = c2t2 - ( x2 + y2 + z2 )

要證明它是一個勞倫玆轉換下不變之，用勞倫玆轉換把兩個座標系對同一個事件的始末算出一個時空點間距，將會發現數值會一模一樣。就是照代而己，外加其中有一步按定義整理簡化，過程直接透明，如下：