愛因斯坦方程式超簡介
距離的定義
距離，是 "兩點之間的長度"，而此長度是一個實數。
距離的計算方法
直接量
由兩點分量差，利用畢氏定理
Δs2 = Δx2 + Δy2 + Δz2
（ 或表示為 Δs2 = Δx12 + Δx22 + Δx32 ）
可定義 距離函數 d(x, y) = [ (y1-x1)2 + (y2-x2)2 + (y3-x3)2 ](1/2) （畢氏定理）
補充：
有了距離的觀念，可以分遠近。即區分那一些點在某個點的旁邊，那一些不是。能定義鄰近(neighborhood)，就能定義開集合與拓撲，我們就有觀念上的工具可以描述東西大致們形體構造（如有洞的與沒有洞是不同的），即不一定有固定形體的。
宇宙正膨脹中的意涵：以前兩點之間距離較近，後來變遠了。
距離的定義的推廣
距離應有的性質
d(x, x) = 0：一個點到自己的距離為零
d(x, y) > 0：if x, y 不同點，大於零
d(x,z) < d(x,y) + d(y,z) ：三角不等式（兩邊長之和大於第三邊）
滿足上述條件的定義
距離函數 d(x, y) = [ (y2-x2)2 + (y1-x1)2 ](1/2)
另一個距離函數 d'(x, y) = [ 4(y2-x2)2 + (y1-x1)2 ](1/2)
又另一個距離函數 d''(x, y) = max (| y2-x2|, | y1-x1| )
ds2 = Σij gij dxi dxj
這是在張量（幾何）的語言中，定義線段長度的方式
單位向量與測度之間的關係
gij = ei · ej
其中
ei ≡ ∂/∂xi
張量與座標變化的不變性
向量、向量分量、算子與基底的形式
座標變換
需滿足什麼條件？
向量的分量值會改變
物理量不變
連（物理定律中常用的）向量微分的算子，也希望形式不變
要如何做到？
物理量由（向量或張量的）分量與基底向量所共同組成，刻意取成搭配的協變與反協變張量，例如 v = vi ei 或 A = Aij ei ej（在此已使用 summenstion convention，即成對出現的相同指標自動視為要作 Σ i=1. . . N 加總），如此一來不管參考座標系統如何更改，都自動保證所組合成的物理量 不隨座標變換而不同。
至於微分算子，則考慮不同位置點上如何"平移"一個向量的規則。從另一個角度說，是一個向量被微分時，除了分量被微分外，基底也有變化上的效應。
好處
物理量及微分運算有不變性（任何座標系普遍適用），才能讓以數學式表現的物理定律有不變性 （任何座標系普遍適用）
利用空間自已的自然參數作座標系統
局部座標系
協變張量與反協變張量
基底的選用
用切線作基底的必要性
自然的基底向量：切線向量
協變張量與反協變張量的互換：透過測度張量
協變微分
協同變？怎麼變？
Γij k 的特寫
從何而來？有何作用？
函數的切線向量在彎曲空間 會有 "基底向量的改變" 之效應
函數的切線向量在平坦空間 不會有 基底向量的改變 之效應
切線向量嵌入在高維度空間才能看出有沒有改變方向
補充：曲面上，兩點間最短線的曲線又叫測地線 (geodesic line)。法方向上投影呈直線，符合兩點之間最短距離的線是直線。
剩下的觀念問題是，如何提取出（線、面、體的） "曲率" 而確定空間彎曲的程度。這在微分幾何學與黎曼幾何學中會有系統化的建立。
回憶前面幾何單元，曲率越大，單位弧長變動的切線改變越大。
Γij k 的定義
基底向量隨著座標參數之變化而變化的情形：
[∂/∂xj ] ei = Γki j ek
根據 Γij k 的定義，
Γij k 的重要性
Aij; k = [∂/∂xk + Γij k ] Aij
上式的詮釋：（第一項）函數本身隨參數變化、加上（第二項）因基底引起的變化。
有了它，才可定義符合張量之變換行為的微分，叫協變微分。如上，能把微分的作用 "V;k"寫成為指標的一部分，意味者微分過後之結果也是一個張量。
實例：梯度、散度、旋度算子
四維時空（狹義相對論的加入）
勞倫滋轉換
羅馬字指標與希臘字指標
曲率
曲線 -> 曲面 -> 彎曲空間， 都可以定 "曲率" （切線方向的變化率，因此要用到微分）
（數學的威力：模式．推廣）（愛因斯坦需要的，黎曼已經準備好）
待補：二維曲面上的曲率如何建立、三維曲面的曲率如何建立。
測度張量的彎曲，就是空間的彎曲
彎曲的程度，
Richi
Geometrically, the Ricci curvature is the mathematical object that controls the growth rate of the volume of metric balls in a manifold.
若以測地線做為參數，則測度張量會有簡單的近似下形式．測度張量以泰勒展開至第一項得
gij = δij + O(|x|2)
以泰勒展開至第二項，則出現 Ricci 曲率張量 :
gij = δij + (1/3) Rijkl xkxl + O(|x|3)
(座標系)運動造成之加速度與重力造成之加速度的等效性
核心觀念：
重力造成的加速度與運動造成的加速度，其本質上（觀察上）不可區分，如果是這樣的話，重力的效果對應到怎麼樣的運動？
重力的新圖像：慣性直線運動（本來無一物，何處惹塵埃）
重力造成的加速度不是外力推動有質量的物體，而是空間彎曲，運動軌跡是則是該空間慣性運動所該有的直線運動。
新想法的結果：
就算是沒有質量的光子，也能被質量體改變路徑。這就超越了牛頓的超距性的萬有引力，並且留下了實驗可以驗證的機會。
曲率張量待選
愛因斯坦選出來的曲率張量
情況之一：空間彎曲只在物質存在（佔有空間之處），而非包含附近（排除）
情況之另一：
時空方程式
Rmn = (4πG/c4) ( 2Tmn - Tδmn )
Gμν = k Tμν
其中 Gμν = Rμν - 1/2gμν R
這裏頭含有測度張量 g μν 的微分及組合，其總的數學意義是曲率。
愛因斯坦說，等號左旁是光滑、精緻、堅固、美麗的大理石（幾何）、右邊是粗糙、脆弱、拼湊的木頭（質量、能量、動量、應力），他自己喜歡左邊的部分。
Gμν - Λ gμν= k Tμν（ Λ 宇宙常數: 愛因斯坦自稱其一生中最大的錯誤）
（發現宇宙的膨脹是加速中之後，有人問：難到愛因斯坦終究還是對了嗎？）
不同數學條件下的空間幾何結構
向量空間
空間點可賦予向量於其上，可對存純量、向量、張量進行座標轉換
仿射空間
引入 Γijk ，可定基底向量跨不同空間點之變化律，可作協變微分。（在此已可得廣義的斜率）
測度空間
引入測度 gμν，可定向量長度
黎曼空間
要求 "向量" 在空間中被 "平行移動" 時，其長度不變
