微積分 I
微積分（歷史切入）
最早被稱為是 "流量" 的數學。由英國的牛頓與德國的萊布尼玆在三百多年前所各自提出。
牛頓體會到求切線、求速度、求極值 、甚至是求面積，都出現
( f(x+h) - f(x) ) / h
這樣的型式，想把它整理成公式，以後用起來更加方便。
切線：從圖形直接體會
速度：若把位置當作時間的函數，則如何求瞬間速度？
極值：長度 a 的線段分成兩段作為矩形的兩邊，如何切才使矩形最大？Fermat 的想法，最大時，稍為變動一下，其值不變。具體作法是：假設 f(x) 的極值出現在 x0，則 設 f(x0) = f(x0+h)，化簡此式，並把含 h 的項丟掉，可得 x0。
面積：以 y = xp 為例。
註：很好的參考書：康明昌，微積分入門
為什麼需要 δ - ε 方式的定義？
要談連續與極限，都需要講到函數在極鄰近定義域的值。
非常 "接近"，代表很小很小的間隔，然而，什麼叫作小？最小能有多小？是 "無限小" 嗎？
由於我們無法處理無限小，因此要迴避使用它，而必須採用下面 δ - ε 的定義方式。
嚴謹基本定義
極限
連續
導數
非標準分析
（允許無限小存在的數學體系）
http://zh.wikipedia.org/zh-tw/非標準分析
泰勒展開式與近似
公式
http://mathworld.wolfram.com/TaylorSeries.html
另一種常見的展開表示法：
證明
假設 f(x) = A + B (x-a) + C (x-a)2 + D (x-a)3 + E (x-a)4 + ..... , 微分一次得（這裏有利用到 d/dx xn = n xn-1，證明如下）
f'(x) = B + 2 C (x-a) + 3 D (x-a)2 + 4 E (x-a)3 + ...
f''(x) = 2 C + 2*3 D (x-a) + 3*4 E (x-a)2 + ...
:
於上列恆等式組全代入 x = a，則 :
f(a) = A
f'(a) = B
f''(a) = C / 2
:
得證。
近似
當 | x-a | < 1 時 (x - a)n 越小， 高次項可忽略
以有限的泰勒展開項數來近似一些函數的圖例
http://yll.loxa.edu.tw/0_gsp/taylor/taylor.htm
回家動手做
sin(x) 的泰勒展開作圖（用 fortran 程式及 pgplot 繪圖）
重要基本函數的微分
冪函數或整數冪函數
d/dx xn = n xn-1
證明：用基本定義 d/dx xn = limx->0 (1/Δx) . [ (x+Δx)n - xn ] ，其中 (x+Δx)n 以多項式展開，為 xn + nxn-1Δx + O(Δ2)，故
原式 = limx->0 (1/ Δ x) . [ nxn-1Δx + O(Δ2) ] = limx->0 [ nxn-1 + O(Δ) ] = nxn-1 ，得證。
指數函數
d/dx ex = ex
證明： 首先以級數展開 ex = ∑n=0∞ xn/n! （這是一個值得記住的 ex 的定義，連 x 是一個矩陣時都會對）
逐項微分之 ∑n=0∞n xn-1/n! = ∑n=1∞ xn-1/(n-1)! ，發現原公式不變（只要重定 m = n-1），得證。
Euler 最喜歡的公式
eiπ - 1 = 0
這條公式裏有 π、 e、i、乘法單位元素 1，以及加法單位元素 0。
eix = cos x + i sin x
這是有名的 Euler 公式 (西元1748年) 如何發現的可能過程
http://en.wikipedia.org/wiki/Euler%27s_formula
歷史上發展的順序，是先有微積分後才有這個公式。我們這裏所提供的說明，是為了幫助大家容易驗證這些基本函數微分的結果。Euler 所定義的指數與對數是極限的方式：
三角函數
利用 sin x = (eix - e-ix) / 2i 及 cos x = (eix + e-ix) / 2 的關係，可得知
d/dx sin x = cos x
d/dx cos x = sin x
對數函數
d/dx ln x = 1/x
d/dx ln f(x) = f'(x)/f(x)
微分運算
函數乘積的微分，萊布尼茲律
d/dx [f(x)g(x)] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)
可以簡單地由基本定義證明。
合成函數的微分，鏈鎖律 (Chain Rule)
合成函數 f(g(x)) = f。g(x)
f。g' (x) = f'(g(x)) g'(x)
教電腦做微分（求函數斜率）
教電腦做積分（求圖線下面積）
從一維空間、二維空間，到三維空間（向量微積分）
梯度
散度
旋度
格林定理
方程式與微分方程式
何謂方程式（equation）
又叫等式
不同於另一個詞 恆等式 (Identities)
何謂微分方程式（differential equation）
教電腦解微分方程式（奧伊勒演算法及一些高階演算法）
微分方程式與物理定律
我們學物理的目的（解決真實世界中的問題、預測自然與宇宙萬物的現象）
牛頓的運動方程式
波動方程式
流體力學的伯努力方程式
電磁學的馬克斯威爾方程式
薛丁格方程式
迪拉克方程式
愛因斯坦的時空與質量方程式
