Structure Factor （結構因子）

在 k- 空間（也就是動量空間）來表達物理的式子，是理論物理中簡化某些數學形式之重要手段，尤其是固態物理之相關理論。

由於晶體有實空間的週期性，因此在 k- 空間亦有其簡單的表現形式。

以下先複習幾個（物理）數學小知識：

(1) r-sp ←→ k-sp 是透過 Fourier Transform 來變換

(2) δ(r) 的 Fourier Transform 是常數

(3) Gaussian 函數的 Fourier Transform 仍是 gaussian，但寬 → 窄，窄 → 寬

(4) ← 一個週期性的 δ(r)，（即 Σ_iδ(R)），其中 R_i = lR_a + mR_b + nR_c，其 Fourier Transform 仍是一系列的 δ-function，你能說明或證明嗎？
看一下 δ-function 方面的書，問常數的 Fourier Transform 是什麼？

(5) F ( f•g ) ＝F ( f ) ＊ F ( g )，其中 f•g 代表兩個數相乘，而 ＊ 代表 convolusion（中文翻作捲積）

(6) F ( f ＊ g ) ＝F ( f )•F ( g )

我們由於是進行材料計算，因此把 Kohn-Sham 方法表現在 k-space（即 G-space）是重要的。

在（X－射線光）晶體學中，常說到 Fourier Transform，這是因為 Fourier Transform 正是富蘭豪佛爾繞射 ( 平行光繞射 ) 的數學形式 。其中會談到“ structure factor ”，什麼是 structure factor？（見 OMAR，p.42）

什麼是 structure factor？它在 X-ray 繞射結晶學中有什麼涵意？( 含意？)

在一維下（三維只是直接的推廣），晶體內的電子雲分佈是長的像是：

   或    (  )

我們可以把這看作是原子在空間中整齊地排列起，而每個 ( 種 ) 原子的電荷都自己有一定的分佈，即，從數學的角度來看，可表為：

 ＊  ＝ 

lattice 格晶點 ( 原子位置 )    convolusion！！  注意 convolusion 的物理意義！

若我們做繞射實驗 ，則屏幕上所得是 Fourier Transform 其電荷密度分佈的結果：

F [] = F [ ＊ ]

     =     F [] •F []

      這↑就叫 structure factor       這↑則叫 atomic form factor

又如 F []

= F []•F [] ＋ F []•F []

不同種原子，有自己的 structure factor！

那 structure factor 和固態計算有什麼關係呢？

答案：固體內的位能，來自於原子，長相如下：

 V(r)    ( 注意 V(r+R)=V(r)) 
    A         B         A         B         A         B

若要表達成 k 空間的形式，則要做 Fourier Transform

V_total(r) =

             =  ＊  +  ＊ 

因此

F [V_total(r)] ＝ F [......]

＝F [] •F [] ＋F [] •F []

= V_A(G)•S_A(G) + V_B(G)•S_B(G)

= Σ_i V_i(G) S_i(G) ；其中 i 代表元素物種

                                                                     F []

Σlδ( r - Rl )                                                                                          S = Σl eis.Rl

Franhofer Diffraction 平行光之繞射 ( 即 ∞ 遠光源 )

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