電腦模擬:與時間無關的薛丁格方程式 - 束縛態的能階與波函數

 

 

量子力學堛滌禰輒W則

機率解釋

波動方程式

可觀量算符

詳見 : 量子力學複習

 

 

與時間無關的薛丁格方程式

位勢與時間無關下的特例

 

數學技巧:分離變數

 

與時間無關的方程式

對於位勢不隨時間而改變的薛丁格方程式, 我們已經知道它是可以被改寫簡化成(時間變數分離出來)為一個本徵值型的二階微分方程式

- h2/2m ▽2 φ(x) + V(x)φ(x) = E φ(x)

注意其中 E 與 φ (x) 皆為未知。 當我們要用電腦計算的方法來求一個微分方程的數值解,就是等於要積分上式中帶有微分符號的部分,使未知函數變為已知。

這樣的一個問題堙A會出現兩種大不相同的解的型式,一是散射態、二是束縛態,在束縛態時最重要會出現的現象就是能量的量子化,也就是只有某些特定的能量值才是允許的。從計算的角度而言,允許與有是怎樣表現出來呢?是波函數能否被歸一化的基本要求。如果在某一個 E 值的試作下波函數發散了,它就沒有辦法被求出對整個空間的積分(無限大),因而也就沒有辦法歸一化它的波函數了。我們就認定這樣的 E 值是不允許的能量值,並且作其他的猜測,儘可能找出所有允許的 E 值與其對應的波函數解。

 

 

 

認識該數學問題的本質

已知與未知

- h2/2m ▽2 φ(x) + V(x)φ(x) = E φ(x)

 

本徵值問題的微分方程式

什麼是 "微分方程式" ?

什麼是 "本徵值" ?

 

數值求解 : 將微分方程式積分

演算法 : 奧依勒演算法、隆巨庫塔 或 奧依勒-克洛瑪 (比較 : 奧依勒-理查遜) 演算法

微分方程式求解散之演算法簡介(待連結)

要積分的方程式,經整理後有以下型式

d2/dx2 φ(x) = 2m/h2 [V(x) -E]φ(x)

可化化為兩個聯立的一階常微方式:

d/dx φ(x) = φ' (x)

d/dx φ'(x) = 2m/h2 [V(x) -E] φ(x)

注意參考書上建議用下面這種 Euler-Cromer 演算法來處理這種會振盪的解就夠好了(詳見參考書 Gould & Tobochnic 內文)請注意斜率項是取 n+1 點上而非 n 點上的,也就是

φ's+1 = φ's + φ''s+1 Δx

φs+1 = φs + φ's+1 Δ x

我們也因此不必動用像 Runge-Kutta 那種較高階且較精密的演算法(詳見數值方法線上教材)。另外,若我們採行所謂的原子單位(atomic unit),則上式中的電子質量與卜朗克常數都可以設成 1。

 

初始值

在本節為了利於模擬示範以上說明的特性,我們採用了一個較為簡化了的情況,就是只處理 V(-x) = V(x) 這種以 y=0 為鏡面對稱這種型式的一維位勢。這樣的對稱性將保證其解必有明確的宇稱性(parity),意思就是說其解必定是奇函數 f(-x) = -f(x) 或是偶函數 f(-x) = f(x) ,不會有其他的狀況。

這樣的特例帶給我們以下計算上的簡化:一、解自動分為奇函數與偶函數兩組,都只要處理後從零到正無限大之間的範圍求解即可(因奇偶函數的另一半是確定的),另外,凡奇函數者皆可由初始原點以 f(x=0) = 0、f'(x=0) = 1 作初始條件出發開始向右積分,而偶函數者皆可由初始原點以 f(x=0) = 1、f'(x=0) = 0 作初始條件出發開始向右積分。

 

猜測本徵值

 

歸一化之必要性及其判定

 

 

 

以下為程式流程概要:

(1) 使用者輸入位井深度 V0 與寬度 2a,畫出位井的圖形

(2) 輸入猜測的 E 值,以及奇偶性

(3) 用演算法一步步積分波函數,並繪圖供觀察

(4) 清除畫面、重畫位井、重覆步驟 (2)

這個程式是供使用者不斷手工嘗試 E 值,找出量子力學允許的那些。

 

 

撰寫程式:

請自行練習

 

真的寫不出來,偷看一下老師寫的範例程式

eigen.f

 

 

操作

選 parity

選 eigenvalue (本徵值)

 

 

觀察 與 討論

一、為何向上或向下走後就一定是發散? (所以我們可以確定有一個解一定在向上與向下發散之間)

提示:從演算法的趨勢去看

 

二、給定一個位井,其所有可能的本徵值是有限個還是無限個?

 

 

三、換成拋物線型的位勢,其本徵值的分佈變成怎樣?

偷看一下:eigen_parabolic.f

 

延伸思考

在本單元中我們要一個一個猜能量值,誰然有向上、向下發散的提示作包夾,但實在還是太麻煩,有沒有自動的方法?

思考函數的求根問題(給我們一個明確的函數 f(x),問那些 x 會使 f(x) = 0 ,我們怎麼作?)

解出來?

作圖?

用電腦地毯式搜索?

有演算法可用嗎?(二分法牛頓法