固態物裡期末考

(含答案)

 

 

一、
在知道 Bloch 定理的Ψk(r) = uk(r) eikr 情況下,導出波函數堣夾蒹g期函數 uk(r),所必需滿足的方程式。(三十分)

答案:(作法提示)把上述的 Ψk(r) = uk(r) eikr 之形式代入薛丁格方程式中,將動量算符 作用到 uk(r) eikr 上,整理直到不能化簡為止,會得 (7.14)。

 

 

 

二、
在富利葉分析下的,晶體內單電子模型的薛丁格方程式成為 0 =(ε0q -ε)Ψ(q) +ΣK UKΨ(q-K) ,詳述下列物理量的定義或回答問題(每個五分):

1. q 的定義
2. Ψ(q) 的定義
3. K 的定義
4. UK 的定義
5. ε0q 的定義
6. ε的定義
7. q 與波向量 k 之關係
8. 為什麼這個式子寫下之後,就可以得到 Bloch 定理的結論

答案:

1. 在設定一個大體積作為Ψ(r) 的週期性邊界條件範圍的情況下,則 Ψk(r) 可以用離散的富利葉級數而非連續的富利葉積分來展開, 而 q 則是這些富利葉空間中的(離散的)自變數。

2. Ψ(q) 是Ψ(r) 之富利葉展開的係數,其中 q 是如上面所定(課文公式 7.53)。

3. 倒空間格子向量,是由倒空間晶胞向量 b1、b2、b3 構成(K = n1 b1+ n2 b2 + n3 b3)。

4. 單電子模型中各個互相相不交互作用電子所共用感受到的位勢(或位能)函數 U(r),其在一個單位晶胞內的富利葉轉換(課文公式 7.49),也是這個週期性函數 U(r) 的富利葉級數展開係數(如課文公式 7.52)。

5. (h2q2)/(2m),見課文公式 (7.55) 之註解。

6. ΗΨ=εΨ 之本徵值問題的本徵值,是待解的未知數,其意義是量子態的總能。

7. q 因為是展開 Ψ(r) 所用的離散的富利葉自變數,故範圍與一般定在第一布里淵區的 k 不同,是可以超過的。至於 q 的間隔與 k 的間隔,則由於同為取波函數在大範圍內的週期性邊界條件,因此其間隔是一樣的。至於後來基於薛丁格方程式的富利葉分析(7.59)而看到對特定的 q 而言,所有 q + K 的富利葉係數 Ψ(q+K) 獨立出現在同一個方程式中,因此套用 Bloch 定理中各波向量 k 會有獨立量子態解的定法,則 q 的意義(或用法)最後也可變成是與 k 一致的,而其範圍也與 k 一樣可設定在布里淵區之內(如課文中 Table 7.1 註解所述)。

8. 因為這個式子突顯出,除了差一個倒空間格子向量的 q + K 之外,對不同的 q 而言,就是不同的獨立方程式。(補註:至於不同 k 之波函數 Ψk(r) 之間要正交的這一仵事,則不是 Bloch 定理所陳敘,而是基於其 eikr 的型式,內積後振盪而導致積分為零所造成的。)

 

 

 

三、
在量子力學的基本原理堙A量子態是使系統總能算符出現極值者。由於波函數要歸一,因此引入 Lagrange 乘子而一起對 <Ψ|H -ε|Ψ> 找極值。用簡併微擾法,探討近乎自由電子之 k 在布里淵區邊界之能帶結構。(三十分)

答案:(作法提示)見課文 p.187 ~ p.188,式 (8.17) ~ (8.24) 及 p.189 之 Figure 8.1。