固態物理 （2004年 十一月 期中考）

（一）請描述測定晶體結構之三種方法不同之處，以及它們各自適用的範疇。

（二）寫下最一般性之 N 個有交互作用電子之 Hamiltonian。

（三）寫下單電子模型的 Hamiltonian（N 個電子），並寫下然波函數 Y(r₁, r₂, ... , r_N) 所必須滿足的非時變薛丁格方程式。

（四）利用分離變數的方法，獲得單一粒子波函數 y_i(r) 所必須滿足的薛丁格方程式。

（提示：正確起頭假設 5%、正確地使用 U(r) 的對稱性 5%、正確地指定能量本徵值 5%、正確的答案 5%。）

（五）己知在晶體中的波函數都具有 y_k(r) = u_k(r) e^ik.r 之的形式，其中 u_k(r) 是一個晶胞長度的週期函數，即它滿足 u_k(r + R) = u_k(r) ，在此 R = n₁a₁ + n₂a₂ + n₃a₃，是晶胞向量的整數倍。在前述情況下，利用週期性邊界條件之 y_k(r) = y_k(x, y, z) = y_k(x+L₁, y, z)、 y_k(x, y, z) = y_k(x, y+L₂, z)、 y_k(x, y, z) = y_k(x, y, z+L₃) 之下，其中 L_i 是樣品的長度，也因此就是各為 a₁, a₂, a₃ 的整數倍。（在此假設 a₁, a₂, a₃ 為平行於 x, y, z 單位向量即可）。試證明：k= 2p( l₁/L₁, l₂/L₂, l₃/L₃ )，其中 l₁, l₂, l₃ 為任意整數。