Ch.12 ¼u©Ê¾Ç

12.1 ²¤¶

¼u©Ê§ÎÅܪº²{¶H¾Ç²z½×¬O¤Q¤E¥@¬öªº¸g¨å²z½×¤§¤@¡C¦bªiªø¤j©ó§÷®Æ¤º³¡ªº·Lµ²ºc¤U¡]§Y¹ï©ó§ÎÅܦӨ¥©TÅé¬O§¡¤Ãªº¡^¡A³o­Ó²z½×¥i¥Hµ¹¥X©TÅé¦b©Ó¨ü¤p§ÎÅܱ¡ªp¤Uªº¯à¶q»P¹B°Ê¡]°Ê¤O©Ê½è¡^¡CÃþ¦ü©óº¡¨¬ªê§J©w«ßªº¼u®¡A©TÅé¦b§ÎÅܤUªº¯à¶q¥Ñ¤@¨t¦Cªº¼u©Ê±`¼Æ©Ò¨M©w¡A°ò©ó¹ïºÙ©ÊªºÃö«Y¡A³o¨Ç¬°¼Æ²³¦hªº¼u©Ê±`¼Æ¥i³QÃö«Y¦¡¾ã²z¥X¸û¤Ö­Ó¿W¥ßªº¶q¡A³o¨Ç¶q«h¥iÂǥѹêÅ窺¶q´ú©Î­ì¤l¤Ø«×ªº¤O¾Ç­pºâ¨ÓÀò±o¡C
12.2 ½u©Ê¼u©Ê¾Çªº¼s¸q²z½×
§Ú­Ì©³¤U­n¦Ò¼{©TÅéµo¥Í¤F·L¤p¥B¥i°fªº§ÎÅÜ¡A´y­z³o¨Ç§ÎÅܪº¤è¦¡¡A¬O¦b©TÅ骺¨C¤@­Ó¦ì¸mÂI r ¤W³£«ü©w½á¤©¤@­Ó¦ì²¾¦V¶q u(r)¡C¥ç§Y¡A¦b§ÎÅÜ¥¼µo¥Í®É¡A©TÅ骺¬Y­ÓÂI¦b¦ì¸m r¡A¦Ó§ÎÅܵo¥Í«á¡A¨ä¦ì¸m´N¶]¨ì¤F r + u(r) ¤WÀY¡C

½u©Ê¼u©Ê¾Çªº¥XµoÂI¡A¬O·Q©w¥X¦U¦ì¸m¤Wªº¦ì²¾ u(r) ¦p¦ó¼vÅT¤Î¨M©w¨t²ÎªºÁ`¯à¡C¦Ó¤½¦¡ªº¼g¥X«h¬OÁ`©M¤F¤U¦C¤­¶µ­«­nªºÆ[¹îµ²ªG¡G

¯à»P¤W­z«e¥|ÂI¬Û®e¤§¯à¶qªº³Ì¤@¯ë§Î¦¡¬O¡]12.2¡^¦¡¡]­«­n¡A½Ð¬Ý¥J²Ó¡^¡C¬°¤°»ò¬O³o¼Ë©O¡H¨S¦³»P u ¦³Ãöªº½u©Ê¶µ¯à¦b¦¡¤l¤¤¥X²{¡A³o¬O¦]¬°­t¦Vªº¦ì²¾©Î¦ì²¾ÅܤƴN·|±a¨Ó­tªº¯à¶q°^Äm¡A³y¦¨¤ñ¥­¿ÅºAÁÙ§Cªº¯à¶q¡A¤]¦]¦¹¯à¤¹³\ªº³Ì¤p¦¸¤è¬O¤G¦¸¡C¤S¦Û¥Ñ¯à¥²©w¬O u ªº¾É¼Æªº¨ç¼Æ¦Ó¤£¯à¦s¦b u ¥»¨­¡A§_«h©TÅ骺¥þÅ饭²¾´N·|¾É­P¯à¶qªº§ïÅÜ¡C¤@¶¥¾É¼Æ¬O³Ì²³æªº¥i¯à¡C¦Ü©ó¦¡¤l¤¤ Eabgd ¬O»P r µLÃö«h¶È·N¨ýµÛ©TÅé¬O§¡¤Ãªº¡C

§Ú­Ì¥i¥H¦Û¥Ñ¦a§â Eabgd ©w¬°¦b ab »P gd ¤¬´«ªº±ø¥ó¤U¬O¹ïºÙªº¡A­Y¨ä­ì¼Æ­È¥¼¥²¦p¦¹¡A§Ú­Ì¨ÌµM¥i¥H§â Eabgd »P   Egdab ³£¥O¬°¬O¨âªÌªº¥­§¡¡]¬°¤°»ò§Ú­Ì¥i¥H³o¼Ë°µ¡H¡^¡A¦p¦¹¡AEabgd ªº¿W¥ßÅܼƴN¥Ñ 81 ­ÓÅܦ¨ 45 ­Ó¡A°¨¤W§Ú­ÌÁÙ·|¬Ý¨ì¡A§âÂà°Ê¥¼§ÎÅÜ©TÅé¯à¶q¤£Åܪº±ø¥ó¥Î¤W¥h«á¡A¿W¥ßÅܼƷ|´î¤Ö¦Ü 21 ­Ó¡A¦p¥H¤U°Q½×¡C

¿ï©w¤@­ÓÂà°Ê¶b¡]³æ¦ì¦V¶q n¡^¡AÂà°Ê·L¤pªº¨¤«× f¡A«h¾ã­Ó©TÅ骺¦U¦ì¸m³£Åܰʤ@ÂIÂI¡A³o­ÓÅܰʶq¬OªÅ¶¡ªº¨ç¼Æ¡A¹ï¤£¦Pªº¦ì¸m r ¤W¡A¥¦ªºÅÜ°Ê¡]¦V¶q¡^¬O¡]12.3¡^¡Aª`·N³o­Ó¦¡¤l¥u¤£¹L¬O r »P fn ªº¥~¿n¡]¦^¾ÐµL­­¤pÂà°Ê¥i³Qµø¬°¦V¶q¡A¥B¦¡¤l¤¤ªº eabm ¬O¨Ó¦Û¥~¿n¤½¦¡¡^¡C§â³o­Ó¤pÅÜ°Ê¡]12.3¡^¥N¤J¯à¶q¤½¦¡¡]12.2¡^¡A­n¨D¤£ºÞ f ¹ê»Ú¤WÂà¤F¦h¤Ö¡A¤]¤£ºÞ¿ï¨úªºÂà¶b¤è¦V n «ü¦V¦ó¤è¡A¯à¶q³£¤£·|§ïÅÜ¡A§Y±o¦¡¡]12.4¡^¡C¦]¬°Âà¶b¤è¦Vªº¿ï¨ú¬O·¥¥ô·N¥B¡]12.4¡^³£¥²¶·­nº¡¨¬¡A¬G¥ô¤@ºØ nm nm' ²Õ¦X¤Uªº«Y¼Æ³£¥²¶·¬°¹s¤~·|¦¨¥ß¡A¦]¦¹¦³¡]12.5¡^¥|¶µ©M¬°¹sªº¤@¯ë©ÊÃö«Y¡C·|¦³¥|¶µªº­ì¦]¡A¬O¦]¬° eabm ¤Î egdm' ¤v¸g¦U©w¤U¤F¨ä¤¤¤@­Ó m ¤Î m'¡A©Ò¥H ab »P gd ¯à¦³ªº²Õ¦X¥u³Ñ¨âºØ¡]¤ñ¤è»¡ m ¬O 2¡A«h ab ¥u¯à¬O 13 ©Î 31¡A§_«h eabm ¬°¹s¡^¡C

³oùتº°Q½×¥Î¨ì¾ã¶ô©TÅé¥þÅ骺±ÛÂà¡A¤j®a¤Á¤Å»Pµy«á§¡¦V©Ê©TÅ餧±´°Q·|¥Î¨ìªº§½³¡§ÎÅܪºÂà°Ê·d²V¤F¡C

¡] 12.5¡^³o­ÓÃö«Y¦¡¤£¤Ó®e©öª½±µ®³¨Ó¤Æ²¯à¶qªí¥Ü¦¡¡]12.2¡^¡A³Ì¤è«Kªº¤èªk­Ë¬O§â u ªº¾É¼Æ©î¶}¨Ó©w¸q¡A±N¤§¤À¬°¹ïºÙªºÀ³Åܱi¶q¡]12.6¡^¡A»P¤Ï¹ïºÙªº¡]12.7¡^¡C§â³oºØ©w¸q¥N¤J¯à¶qªí¥Ü¦¡¡]12.2¡^¡A³o·|±o¨ì¡]12.8¡^¡Aª`·N¥¦ªº²Ä¤G¶µ«Y¼Æ«ê¦n¬O¹s¡A³o¸ÑÄÀ¤F¬°¤°»ò§Ú­Ì­n±Ä¥Î¡]12.6¡^¡B¡]12.7¡^³o¼Ëªº©w¸q¤è¦¡¡C¦p¦¹¡A¯à¶qªí¥Ü¦¡¥i³Q¤j¤j¦a²¤Æ¦¨¡]12.9¡^¡]¦^·Q¼u®ªº¼u¤O¦ì¯à U = (1/2)Kx2¡^¡A¨ä¤¤·sªº±`¼Æ Cabgd ¦p¡]12.10¡^©Ò©w¡C¨Ã¥B¥Ñ©ó©w¸qªº§Î¦¡¡A Cabgd ¥»¨­´Nº¡¨¬ a <--> b¡Bg <--> d¡Bab <--> gd ³o¨Ç«ü¼Ð¤¬´«ªº¤£ÅÜ©Ê¡A±q³oùØ¥i¥H¬Ý¥X Cabgd ³Ì¦h¤]¥u¨ã¦³ 21 ­Ó¿W¥ß¤À¶q¡C¥t¥~­È±oª`·N¡AÂǥѩw¸qÀ³¤O (stress) ±i¶q s ¦p¡]12.13¡^©Ò¥Ü¡]¦^·Q¼u®ªº¡§¦^´_¤O = ¼u¤O±`¼Æ X ¦ùªø¶q¡¨¡^¡A­ì¯à¶qªí¥Ü¦¡¡]12.9¡^¤]¥i³Q¼g¬°¡]12.12¡^¦Ó¨ã¦³¡§§@¥\ = ¤O X ¦ì²¾¡¨ªºª«²z·N¸q¡C

¤°»ò¬O stress¡]À³¤O¡^¡B¤°»ò¬O strain¡]À³ÅÜ¡^¡A«Ü­«­n¡A½Ð¤j®a¤@©w­nª`·N¡C
 
 

12.2.1 ¥ß¤è¹ïºÙªº©TÅé
ÁöµM¹ï©ó¤@¯ëªºª¬ªp C ±i¶q¦³ 21 ­Ó¿W¥ß¤À¶q¡A¥u­n¬O¤ñ¤T±×¨t²Î§ó°ªªº¹ïºÙ©TÅé«h C ±i¶q³£ÁÙ·|¦A²³æ¤@ÂI¡C¥H¨ã¥ß¤è¹ïºÙ©Êªº©TÅ鬰¨Ò¡A¿W¥ßªº¼u©Ê±i¶q±`¼Æ´N¥u¦³¤T­Ó¡C³o¬O¦]¬°¹ï x-y¡Ay-z¡Az-x ­±¤Ï®g¦³¹ïºÙ©Ê¡A¬G Cabgd ¤£¥i¯à¦³³æ¼Æ­Ó¦P¤@®y¼Ð index ¥X²{ªÌ¡A¨Ò¦p Cxyyy¡A¥¦¬O exy »P eyy ªº«Y¼Æ¡A·í x ´«¦¨ -x ®É¡Aexy ·|Åܸ¹¡A¦ý¥ß¤è¹ïºÙ«o­n¨D x -> -x ¯à¶q¤£ÅÜ¡A¦]¦¹ Cxyyy ¥»¨­¥²¶·¬O¹s¡C¥t¥~¡A¥ß¤è¹ïºÙ©TÅ馳¤T­«Âà°Ê¹ïºÙ¶b¡A§â¶b¨Ì x -> y -> z -> x ³o¼Ë¨Ó´«¬O¤£Åܪº¡A¦]¦¹ Cabgd »P¨ä¥¦ index ¬O¨ä´`Àô­«±Æ¦CªÌªº¤À¶q³£¬O·|¬Ûµ¥ªº¡C¦b³o»ò¦h¹ïºÙ±ø¥ó¤U¡A·|¯d¤U¤T­Ó¿W¥ß°Ñ¼Æ¬O Cxxxx¡ACxxyy¡ACxyxy¡A¦Ó¦Û¥Ñ¯à¤½¦¡«hÅܦ¨ (12.14) ¦¡¡C¦¹¦¡³q±`¥iÂǥѭ«·s©w¸q²Å¸¹¦Ó¼g¦¨±M¬°¥ß¤è©TÅé¥Îªº§ó²¤Æµ{¦¡¡FÂǥѩw (12.15) ¤Î (12.16)¡A¦Û¥Ñ¯à¤½¦¡¡A²¤Æ¬° (12.17) ¦¡¡C¹ï©ó¥ß¤è´¹Åé¡A¤T­Ó¿W¥ß±`¼Æ¬O C11, C12 »P C44¡A¦C©óªí 12.1¡C

12.2.2 §¡¦V©Ê (isotropic) ©TÅé

«Ü¦h©TÅé°ò¥»¤W¬O§¡¦V©Êªº¡A¤]´N¬O»¡±q¦U¦V¤£¦P¤è¦V¬Ý¨ä¯S©Ê³£¬O¤@¼Ëªº¡C¨Ò¦p¬Á¼þ¡A°£«D¦b­ì¤l¤Ø«×¬Ý¡A¨äµ²ºc¹ê¦b¨S¦³¤°»ò¤è¦V¤Wªº°¾¦n¡C¤S¦p¤@¯ëűÅK©Î³³²¡°Ó«~¡A¥Ñ³\¦h²Ó¤p·L´¹Åé«ü¦V¦UºØ¤£¦P¤è¦V©Ò²Õ¦¨¡A¦]¦¹¦b¥¨Æ[ªº¤Ø«×¤U¬Ý¤]¤£·|¦³¤°»ò¤è¦V©Ê¡C¹³³o¼Ëªº±¡ªp¡A¿W¥ßªº¼u©Ê±i¶q±`¼Æ´N·|§ó¶i¤@¨B¡]¥Ñ¥ß¤è¹ïºÙ©TÅé¨ã¦³ªº¤T­Ó¦A¡^´î¤Æ¦¨¨â­Ó¡C

¨ä§@ªk¬Û·í²³æ¡C¦³§ÎÅܵo¥Íªº§½³¡¡A¥Ñ©ó©TÅé¬O§¡¦V©Êªº¡A¦]¦¹§â³o¤@¤p¶ôÅܤƾãÅé´«­Ó¤è¦V«h¯à¶q¥N»ùÁÙ¬O¤@¼Ëªº¡C¦b³oùتº¨Ò¤l¡A§Ú­Ì§â¥¦Âà 45 «×¡A«h r ³BªºÀ³ÅÜ eab(r) ´N·|³QÂন e'ab(r')¡A¨âªÌÃö«Y¦¡¬°¡]12.20a¡^¡C­n¨D¦¹¤@ÂàÅܹï¯à¶q¡]12.14¡^¨ÃµL§ïÅÜ¡]¹Lµ{³Q¦C¬°²ßÃD 1¡^¡A«h¦³¡]12.21¡^¦Ó¾É­P¡]12.22¡^¡A¬G¿W¥ß±i¶q±`¼Æ¶È³Ñ¨â­Ó¡C¦Ó¼u©Ê¦ì¯àªº¦¡¤l¥i´î¤Æ¬°¡]12.23¡^¡C

¹B°Ê¤èµ{¦¡»P¥­¿Å

¦b«e­±¤w¸gª¾¹D¥ô·N§ÎÅÜ©Ò³y¦¨ªº¦Û¥Ñ¯à¡A¨Ã¥Bª`·N¨ì¦b©TÅ馳¹B°Ê®É¨ä°Ê¯à¬O (12.24)¡A«h§Ú­Ì¥i¥H¼g¤U§ÎÅÜ(¦ì²¾) u ªº¹B°Ê¤èµ{¦¡¡C³o¬OÂǥѲz½×¤O¾Ç©Ò¾Ç¨ìªº Euler-Lagrange ¤èµ{¦¡¨ì¡A¨ä¤¤ (12.25) ªºªí¥Üªk¤¤¦³¥Î¨ì (12.13) ¹ïÀ³¤Oªº©w¸q¡A§Y (12.26)¡C

¥Ñ©ó¤p¶ô½è¶qªº¥[³t«×¬O¨M©w©óÀ³¤O±i¶qªº´²«×¡AÀ³¤O±i¶qªºª«²z·N¸q´N¬O¥i³Q¸àÄÀ¬°¨C¤@¤p¬q¬I©ó¬Û¾F¬qªº¤O¡C§Ú­Ì¥i¥Ñ¤U­±ªº¤ÀªR¤F¸Ñ¬°¤°»ò¥i¥H³o¼Ë»¡¡C§â (12.25) ®³¨Ó°w¹ï¤@­Ó¤pÅé¿n½d³ò¿n¤À°_¨Ó¡A§Q¥Î®æªL©w²z¡]°ª´µ©w²z¡^§âÅé¿n¤ÀÂର­±¿n¤À¡A´N¥i¬Ý¨ì (12.27) ¦¡¡C­Y¦¹¿n¤ÀªºÅé¿n½d³ò¬O¿ï¨ú¤F¤@­ÓªuµÛ®y¼Ð¤è¦ìÂ\¸mªº¤p¥ß¤èÅé¡A«h (12.27) §i¶D§Ú­Ì¬I©ó³o­Ó¤p¥ß¤èÅ骺Á`¤Oµ¥©ó¬O¬Û·í©ó¦U­Ó¤À¶qªºÀ³¤O­¼¤W¬ÛÃö­±¿n§Y¥i±o¨ì¡C¦p¦¹ÅçÃÒ¤F¤W­z»¡ªk¡C

§ó¨ãÅé¦a»¡¡A·Q¹³®³¤@§â¤M¤l§â¤@­Ó±µ³sªºª«Åé¤Á¥X¤@¹ï¤pªº¤Gºû¥­­±½d³ò¡A¥H««ª½©ó x ¶bªº¤Áªk¬°¨Ò¡A«h sxx ¬Û·í©ó§â³o¨â­Ó¤p¥­­±ªuµÛ x ¤è¦V±À¦^¨ì¤@°_¤§³æ¦ì­±¿n©Ò»Ý­nªº¤O¡A¦Ó sxy »P sxz «h¬O§â­ì¤l©Ô¦^¨ì¥­¿Å®É²ÕºA©Ò»Ýªº (««ª½©ó x ¶bªº) ³æ¦ì­±¿nªº¦ù±i¬I¤O¡C¹ï¤p¥ß¤èÅé¦Ó¨¥¨C­Ó­±¤WªºÀ³¤O¤À¶q¤§¤è¦V¦p¹Ï 12.1 ©Ò¥Ü¡C(12.11) ¦¡ùØ©Ò´y­zªº²Ä¤@ºØ¹ïºÙ©Ê¾É­P sab = sba  ª½±µ¬Ý¹Ï 12.1 ¥i¥HÅé·|¨ì³o¬O¬Û·í©ó­n¨D©Ò¦³ªº§á¤O (torque) ¹ï©TÅé¨C¤@­Ó¤pÅé¿n¤¸¯À¦Ó¨¥³£¥²¶·­n®ø¥¢ªº¡C

¦b§¡¦V©Ê©TÅ骺¯S®í±¡ªp¤U¡A§Ú­Ì¦³ (12.28) ¦¡¡A³o¥i¥H±À¾É±o¥X (12.29) ¦¡ªº©Ê½è (¤j®a°µ°µ¬Ý)¡C¥Ñ¦¹¡A¹B°Ê¤èµ{¦¡ (12.25) ´NÅܦ¨¤F (12.30) ³o¼Ë²³æªº§Î¦¡¡C

§¡¤ÃÀ³¤O
¦pªG¤@­Óª«Åé¬O©Ó¨ü z ¤è¦Vªº§¡¤ÃÀ³¤O S¡A¦p¹Ï 12.2 ©Ò¥Ü¡A«h±q (12.29) ¦¡§Ú­Ì¥i¥H°¨¤W±o¨ì S = Yezz ¡]¦¡ (12.31)¡^¡A¨ä¤¤ Y ªº­È¬O (12.30)¡C

(12.29) ¦¡¦U¤è¦VÀ³¤O (stress) ­È¤§¤U·|¦³¤°»ò¼ËªºÀ³ÅÜ (strain)¡A³o¥ó¨Æ±¡´N¦n¹³¤w¸g¾å±o±¾­«ª«¤§­«¶qªº±¡ªp¤U¡A°Ý¼u®ªº¦ùªø¶q¤@¼Ë¡C¤]´N¬O»¡¡A§â szz = S ¥N¤J (12.29)¡A¥i±o

ezz
= [-l / (2m(3l+2m))] (sxx+syy+szz) + (1/2m) szz
= [-l / (2m(3l+2m))] (0+0+szz) + (1/2m) szz
=  [-l / (2m(3l+2m))] szz + (1/2m) szz
=  [(-l+3l+2l) / (2m(3l+2m))] szz
= [(l+m) / (m(3l+2m))] szz
= [1 / Y] szz

Y ¥s°µ¼u©Ê¼Ò¶q©Î¥s·¨¤ó¼Ò¶q¡C¦P®É¡A¦V©Ò¬IÀ³¤Oªº««ª½¤è¦V¦¬ÁY¤F (12.33) ªº¤j¤p¡C««ª½¦¬ÁY¶q exx ªº­t­È°£¥H¦ùªø¶q ezz ¬O©Ò¿×ªº Poisson ratio¡A¦b¥»¨Ò¤¤¨ä­È¬° (12.34) ¦¡¤¤©Ò¥Ü¡C

¥t¥~¤@­Ó±`¨£ªº±`¼Æ¡A¬O©w¸q¦b·í°ß¤@¤£¬°¹sªºÀ³¤O¥u¨Ó¦Û syz = S ®É¡C¤@¼Ë¨Ï¥Î (12.29) ¦¡¡A§Ú»ò¥i¥H±o¨ì eyz »P³o­Ó S ªºÃö«Y (12.35) ¦¡¡A³o©w¸q¤F Shear Modulus¡]°ÅÀ³¤O¼Ò¶q¡^¡C

¤@¨Ç§÷®Æªº Y ­È»P n ­È¦C©óªí 12.2¡C

¦æ¶iªi
¹B°Ê¤èµ{¦¡¡]12.30¡^ªº¤@­Ó­«­n¯S©Ê¡A´N¬O¥¦¯à°÷Ä­¨|¨âºØ¦æ¶iªiªº®¶°Ê¼Ò¦¡¡A§Y¾îªi»PÁaªi¡C­Y§Ú­Ì©w¸q¦ì²¾ªº´²«×»P±Û«×³o¨â­Ó¶q¡A¦p¡]12.36¡^©Ò¥Ü¡A«h§â¡]12.30¡^¦¡¤À§O¨ú¨ä´²«×»P±Û«×·|±o¡]12.37¡^»P¡]12.38¡^¡A¥¦­Ì¨âªÌ³£¨ã³Æ¤Fªi°Ê¤èµ{¦¡ªº§Î¦¡¡A§Y¹ï®É¶¡°¾·L¤À¨â¦¸»P¹ïªÅ¶¡°¾·L¤À¨â¦¸¡C¸Õ¥H¥­­±ªiªº³q¸Ñ§Î¦¡¥N¤J¡]12.37¡^±´°Q¡A¥i±o¨£ªiªº¦æ¶i¦V¶q k »P°¾·¥¦V¶q u ¥­¦æ¡A¥NªíÁaªi¡F¦P ¼Ë³q¸Ñ±a¤J¡]12.38¡^±´°Q¡A«h±o k »P u ««ª½¡A¬O¾îªi¡C¨âªÌªi³t¦U¦p¡]12.39¡^»P¡]12.40¡^©Ò¥Ü¡C