Probability

 

"熱系統的行為由機率決定",因此以下介紹幾個重要的名詞與觀念。

 

引言

機率將"不確定性"量化,所以有用,例如降雨預報。

機率理論原本是用於賭博。

本來物理學家以為體系複雜所以用機率,後來發現在微觀理論(量子力學)中也要用到。

機率在熱物理重要,系統中粒子數量龐大,使得用該方法分析的結果足夠精確。

 

事件發生的機率之描述方式,不可能發生者定為零,確定發生者定為1。可能發生但不確定者定為 0 與 1 之間的值。

機率分布處處為正,積分(加總)得 1

 

離散機率分佈

"有限次" 取樣

如骰子擲出的點數、每個家庭中兒童數等

x 為離散隨機變數 (disctete random variable)

i 類型事件之 x 的值xi (如:第 i 種骰子擲出結果,或第 i 種家中兒童數)其機率機率為 Pi

我們要求滿足一特性,即加總得 1

Σi Pi = 1

平均值 <x>

<x> = Σi xi Pi

即每次取樣到的隨機變數,以其"機率為權重"合計之。

 

例 3.1 平均兒童數 2.4!

 

也可定 x 的均方值(mean square value) < x2 > 如下:

< x2 > = Σi x2 Pi

事實上,任何 x 組合出的函數形式 f(x) ,都可以求平均

< f(x) > = Σi f(xi) Pi

 

例 3.2  求< x > 與 < x2 > (請自行練習)

 

連續機率分佈

x 為 連續隨機變數,它在 x 到 x + dx 範圍之內的發生機率為 P(x)dx

因此有積分

∫ P(x) dx = 1

< x > = ∫ x P(x) dx

< x2 > = ∫ x2 P(x) dx

< f(x) > = ∫ f(x) P(x) dx

 

例 3.3 Gaussian 分佈及其積分 (重要)

 

線性轉換

y、x 皆隨機變數

y = ax + b

< y > = < ax + b >  = a < x > + b

 

例 3.4 攝氏華氏溫度轉換

 

變異數

想知 取樣值 xi 的分散程度? 即 x - < x >  之意

但 x - < x > 的平均 < x - < x > > = < x > - < x > = 0

| x - < x > | 則麻煩,

故用 均方差 (mean square deviation)

σx2 =  < ( x - < x > )2 >

並定義標準差為

σx = √[ < ( x - < x > )2 > ]

 

一個有用的關係式

σx2 = <x2> - <x>2

 

例 3.5 算 σx2

 

線性轉換 與 變異數

若 y = ax + b

則(推導見課本)

σy = a σx

 

例 3.6

 

獨立變數

Pu(u)du Pv(v)dv

很容易可證

<uv> = <u> <v>

 

例 3.7 Y = X1 + X2 + ... + Xn

上例之 應用 (1) 提昇實驗量測精度 --> 多次 測量

應用 (2) random walk <x> = 0 ,n 步後 σx = √n

 

 

二項(式)分佈

有名的 "伯努力測試" 或 "伯努力實驗" 每次只有兩種結果,成或敗,機率姑且定為 p 及 1-p。實例如,丟銅板看人頭或文字。

 

Ex 3.8 隨機變數 x 之結果非 1 即 0,機率各為 p 及 1 - p,問 x 的平均值、x2 的平均值 (均方值)以及標準差。

< x > = 0 × ( 1 - p ) + 1 × p = p

< x2 > = 02 × ( 1 - p ) + 12 × p = p

σx = √( < x2 > - < x >2 ) = √( p ( 1 - p )   )

 

二項分佈 P(n,k) 是 n 次伯努力測試下得到 k 次成功的機率值。此機率可經由以下想法推得:(a) 某特定符合 (n,k) ,即取 n 次、成 k 次的案例,其出現的機率是 pk (1-p)n-k ,並且 (b) 有 Cnk 種不同之排序方法 。因此,

P(n,k) = Cnk pk (1-p)n-k

 

數學上的二項式定理說:

( x + y )n = Σnk=0  Cnk x k yn-k

因此吾人可輕易證明

Σnk=0 P(n,k) = 1

即確實是一個合法的機率分佈函數。

 

由於二項式分佈是 n 個 "獨立的" 伯努力測試之和,我們有(自行驗證)

< k > = n p

σk2 = n p (1-p)

 

該分佈的 fractional width 定為標準差除以平均值, σk / < k >,故隨 n 增加而變窄 ,見課本圖。

 

Ex 3.9 擲公平銅板

 

Ex 3.10 醉漢走路