Probability
"熱系統的行為由機率決定"，因此以下介紹幾個重要的名詞與觀念。
引言
機率將"不確定性"量化，所以有用，例如降雨預報。
機率理論原本是用於賭博。
本來物理學家以為體系複雜所以用機率，後來發現在微觀理論（量子力學）中也要用到。
機率在熱物理重要，系統中粒子數量龐大，使得用該方法分析的結果足夠精確。
事件發生的機率之描述方式，不可能發生者定為零，確定發生者定為1。可能發生但不確定者定為 0 與 1 之間的值。
機率分布處處為正，積分(加總)得 1
離散機率分佈
"有限次" 取樣 裏
如骰子擲出的點數、每個家庭中兒童數等
x 為離散隨機變數 (disctete random variable)
i 類型事件之 x 的值xi （如：第 i 種骰子擲出結果，或第 i 種家中兒童數）其機率機率為 Pi
我們要求滿足一特性，即加總得 1
Σi Pi = 1
平均值 <x>
<x> = Σi xi Pi
即每次取樣到的隨機變數，以其"機率為權重"合計之。
例 3.1 平均兒童數 2.4!
也可定 x 的均方值(mean square value) < x2 > 如下：
< x2 > = Σi x2 Pi
事實上，任何 x 組合出的函數形式 f(x) ，都可以求平均
< f(x) > = Σi f(xi) Pi
例 3.2 求< x > 與 < x2 > （請自行練習）
連續機率分佈
x 為 連續隨機變數，它在 x 到 x + dx 範圍之內的發生機率為 P(x)dx
因此有積分
∫ P(x) dx = 1
< x > = ∫ x P(x) dx
< x2 > = ∫ x2 P(x) dx
< f(x) > = ∫ f(x) P(x) dx
例 3.3 Gaussian 分佈及其積分 （重要）
線性轉換
y、x 皆隨機變數
y = ax + b
有
< y > = < ax + b > = a < x > + b
例 3.4 攝氏華氏溫度轉換
變異數
想知 取樣值 xi 的分散程度？ 即 x - < x > 之意
但 x - < x > 的平均 < x - < x > > = < x > - < x > = 0
| x - < x > | 則麻煩，
故用 均方差 (mean square deviation)
σx2 = < ( x - < x > )2 >
並定義標準差為
σx = √[ < ( x - < x > )2 > ]
一個有用的關係式
σx2 = <x2> - <x>2
例 3.5 算 σx2
線性轉換 與 變異數
若 y = ax + b
則（推導見課本）
σy = a σx
例 3.6
獨立變數
Pu(u)du Pv(v)dv
很容易可證
<uv> = <u> <v>
例 3.7 Y = X1 + X2 + ... + Xn
上例之 應用 (1) 提昇實驗量測精度 --> 多次 測量
應用 (2) random walk <x> = 0 ，n 步後 σx = √n
二項(式)分佈
有名的 "伯努力測試" 或 "伯努力實驗" 每次只有兩種結果，成或敗，機率姑且定為 p 及 1-p。實例如，丟銅板看人頭或文字。
Ex 3.8 隨機變數 x 之結果非 1 即 0，機率各為 p 及 1 - p，問 x 的平均值、x2 的平均值 （均方值）以及標準差。
< x > = 0 × ( 1 - p ) + 1 × p = p
< x2 > = 02 × ( 1 - p ) + 12 × p = p
σx = √( < x2 > - < x >2 ) = √( p ( 1 - p ) )
二項分佈 P(n,k) 是 n 次伯努力測試下得到 k 次成功的機率值。此機率可經由以下想法推得：(a) 某特定符合 (n,k) ，即取 n 次、成 k 次的案例，其出現的機率是 pk (1-p)n-k ，並且 (b) 有 Cnk 種不同之排序方法 。因此，
P(n,k) = Cnk pk (1-p)n-k
數學上的二項式定理說：
( x + y )n = Σnk=0 Cnk x k yn-k
因此吾人可輕易證明
Σnk=0 P(n,k) = 1
即確實是一個合法的機率分佈函數。
由於二項式分佈是 n 個 "獨立的" 伯努力測試之和，我們有（自行驗證）
< k > = n p
σk2 = n p (1-p)
該分佈的 fractional width 定為標準差除以平均值， σk / < k >，故隨 n 增加而變窄 ，見課本圖。
Ex 3.9 擲公平銅板
Ex 3.10 醉漢走路