馬克斯威爾–波玆曼分佈

 

氣體是物質最簡單的狀態。

在本章我們將波玆曼分佈用在分析氣體分子的速度與速率分佈上。(先不管轉動與振動,因此僅適用單原子構成之氣體。)兩個假設:(1) 分子大部分時間在直線飛行,少部分的時間經歷碰撞過程;(2) 忽視任何分子間作用力。

思考:為何需要 上述兩個 假設?

各個分子可與其他分子交換能量,還能保持乎衡。如此可視每個分子為獨立系統,與其他所有分子所構成的熱庫交換能量(但保持溫度恆定),故可適用波玆曼分佈。

 

速度分佈

速度分佈的函數,某速度方向(定為 x)之 vx 到 vx + dvx 之間的數量分量是 g(vx) dvx ,不同的 vx 會表現出不同的 x 方向動能,基於波玆曼因子,指數上有相對的能量(為什麼是 相對的能量?)1/2 m vx2 ,故有

g(vx) ∝ exp [- m vx2 / 2 kB T ]

至於歸一化常數,則要求  ∫-∞ C exp[-mvx2/2kBT] dvx = 1

得(見課本)

g(vx) = √(m/2πkBT) exp[-mvx2/2kBT]

此一分佈函數馬上幫我們獲得下列期望值

< vx > = ∫-∞ vx g(vx) dvx = 0

< | vx| > = 2 ∫0 vx g(vx) dvx  = √(2 kB T /πm)

< vx2 > = ∫-∞ vx2 g(vx) dvx = kB T / m

 

 

速率分佈

現在要選 v = | v | 到 v + dv 這範圍有多少個分子,

(為什麼這個數目字會和前面速度分量的不一樣?怎麼的不一樣法?)

球殼體積是 (注意這是速度空間)

4πv2 dv

用 f(v) dv 表示 ,則

f(v) dv ∝ v2dv exp[-mv2 / 2 kBT]

此 f(v) 要滿足歸一化條件 ∫0 f(v) dv = 1,可定出(見課本 (5.11))

f(v) = 4/√(π) (m/2kBT)3/2  v2 exp[-mv2 / 2 kBT]

這稱為 Maxwell-Boltzman 速率分佈,或稱 Maxwell 速率分佈

 

< v > 及 < v2 >

使用 Maxwell-Boltzman 速率分佈,可得

< v >  = ∫0 v f(v) dv = √(8 kBT / πm)

< v2 >  = ∫0 v2 f(v) dv = 3 kBT / m

 

從 (5.7) 與 (5.14) 我們本來就有

< vx2 >  + < vy2 >  + < vz2 >   = kBT / m + kBT / m  + kBT / m  = 3 kBT / m = < v2 >

再次確認無誤。

 

另外,均方根 root mean square 速率

vrms = √(< v2 >) = √( 3 kBT / m )

是正比於 m-1/2

 

一個氣體分子的平均動能

< EKE > = 1/2 m < v2 > = 3/2 kBT

上式說明,一個分子在氣體中的平均能量只與溫度有關。

 

 

速率分佈 f(v) 的極大值

使 f(v) 達最大的 v 可由解  df / dv = 0 而得

vmax = √( 2 kBT / m )

思考:與 vrms 比較一下,想想兩者意義 (非僅定義) 有何不同?

由於 √2 < √(8/π) < √3 ,故

vmax <   <v>  < vrms

這是因為 Maxwell 速率分佈的尾部向右拖得很長。

 

Ex. 5.1 N2 分子的 vrms

(與聲速同一個數量級)

思考:這是巧合還是必然?

 

實驗上的驗證

見課本

速度選擇器(用交流電壓相位偏移,使兩個碟片的馬達差一個相位。也有將兩碟片固定在同一軸上的,再每次調)(利用 time of fly 原理)

 

都卜勒效應