氣體的傳輸性質

 

本章探討氣體如何從一處至另一處傳遞 動量、熱、粒子。

這些都是非平衡狀況,但都僅探討準靜態 (steady state) ,因此系統參數與時間無關。

相關的物性是

黏滯性:傳輸動量

導熱性:傳輸熱

擴散性:傳輸粒子

 

本章對這三個量的推導方式,有相近類似之處。

 

黏滯性 (Viscosity)(動量傳輸)

黏滯性是描述液體對剪應力產生之形變的抵抗力。

對直線、平行、均勻流,層間剪應力是 "正比於" 垂直流場方向上的 "速度梯度"。(這是一種近似)

Key concept : 橫向的流速差梯度

黏滯係數 (coefficient of viscosity) η 定義為 :

剪應力 (sheer stress) τxz  = F / A 與流速(差)梯度 d ux / dt 之間的比例係數

τxz  ≡ F / A = η d ux / dt

這塈畯抻耵漪y體是氣體,因此 ux 還要再加上平均的效應 < ux > (氣體分子的速率遵守 Maxwell-Boltzman 分佈)

(我們還是期待此一氣體不離平衡太遠,雖說本章一開始即言明傳輸現象不是平衡的系統。)

 

依此定義,想推導:

x-方向的動量,沿 z 方向(穿透)傳輸的程度

(聯想:不倒翁鎚遊戲)(對於理想氣體,這種效應來自何處?)

 

用 x 方向動量流(是 z 的函數,故予下標 z)表示出來,將會是

Πz = - η ∂< ux > / ∂z

以下估計動量流 Πz  與∂< ux > / ∂z 的關係:

 

由氣體動力論的觀點,來估算 x 方向動量流,切入點如下:

思考 :z  處的分子流為何有能力 "帶動" 到 z + Δz  處之橫向動量變化?

觀點:分子斜著飛,在碰撞前位置到達了 Δz,也自然把自己的 vx 貢獻給了 z + Δz 處,而產生帶動橫向動量變化的效果。

與法方向夾角θ的分子,其 " 向上" 平均自由路徑(的投影)為 λcosθ

則這些偏向上飛行夾角θ之分子將會夾帶的 x-方向動量是

- m (∂< ux > / ∂z ) λcosθ

注意此處 λcosθ之角色為 Δz ,透過乘積 (∂< ux > / ∂z ) Δz  來取得 Δ< ux >,因此上列者確實為(x 方向)動量變化。

以此去積分角度、速率,得總的動量流:

Πz = ∫00π  v cosθ n f(v) dv 1/2 sinθ dθ · m (- ∂< ux > / ∂z ) λcosθ

= 1/2 n m λ0 v f(v) dv (- ∂< ux > / ∂z ) ∫0πcos2θsinθdθ

= - 1/3 n m λ < v > (∂< ux > / ∂z )

(問:在此的推導,λ為何與 v 無關?)

(討論:訂出 λ(v) 會不會更好?)

得出

η= 1/3 n m λ < v >

 

(討論:這是氣體,那液體呢?)

 

 

幾個 η 的性質

(見課本)

 

 

導熱性(能量傳輸)

定義導熱係數

Jz = - κ (∂T /∂z )

向量形式

J = - κT

為了推導 κ,思考:分子 如何攜帶能量?答案是動能。

< 1/2 m v2 > = 3/2 kB T

上式可看成是單原子分子的比熱,僅有移動動能,不含轉動及振動動能的部分。為了使之後推導的結果適用於單、雙原子分子,以下用分子熱容而不把 < 1/2 m v2 > 拆開融入公式中處理 。

因此,從比熱的角度看

Cmolecule ΔT =   Cmolecule  (∂T /∂z ) Δz =  Cmolecule (∂T /∂z ) λcosθ

熱流為 ( )

Jz = ∫0 dv ∫0π  [-Cmolecule (∂T /∂z ) λcosθ] v cosθ n f(v) 1/2 sinθ dθ

= - 1/2 n Cmolecule λ∫0 v f(v) dv  (∂T /∂z ) ∫0π  cos2θsinθ dθ

= - 1/2 n Cmolecule λ< v > (∂T /∂z )

因此

κ = 1/3 CV λ< v >

 

 

擴散(質量傳輸)

假設 n* 是加了記號的分子密度 (為什麼要如此設?)

一個區域若有粒子密度的不均勻性(即梯度),則自然界便會發生淨粒子流,以企圖達到最終之平衡(等分佈),而擴散係數 D 則決定此一過程之快慢程度。

 

以下先具體的寫出此係數 D 與其他物理量之間的關係:

首先,濃度梯度的存在,造成粒子流出的流量 Φz

Φz = - D (∂n*/∂z)

現在,考慮面積 A、厚度 dz 的一片 Slab ,我們要估對進入 A 這一個片體積之中

在 z 處流入的粒子流率 A Φz

在 z + dz 處流出的粒子流率 A [(Φz + (∂Φz /∂z) dz ]

兩者差,即區域內部粒子密度之增加

∂(n* A dz) /∂t  =  - A (∂Φz /∂z) dz

∂n* /∂t  =  - ∂Φz /∂z

把最上面 Φz  與 ∂n*/∂z 及關係代入後,得到

∂n* /∂t    =  D ∂2 n* /∂z2

這就是所謂的 "擴散方程式" (diffusion equation)

 

(三維形式擴散方程式之推導見課本。)

 

註:擴散方程式可由連續方程式來得到,這是因為粒子(或質量)不滅的基本設定。反之,前兩節中探討的熱流與動量流,就沒有不滅的特性,因此沒有對應的連續方種式。

 

從氣體動力論出發來推導出擴散係數 D 的方式如下:(思考邏輯與前面各量一模一樣)

已知 D 的定義 Φz = - D (∂n*/∂z) ,另由 動力論 估計 Φz,藉著 Δn* = (∂n*/∂z ) dz = (∂n*/∂z ) λ cosθ,故有

Φz = ∫0 v cosθ f(v) dv 1/2 sinθ [ -(∂n*/∂z ) λ cosθ]

= -1/3 λ < v > ∂n*/∂z 

D = 1/3 λ < v >

 

D 的特性(見課本整理)

D ∝ p-1

D ∝ T2/3

D ∝ η

D ∝ m-1/2 d-2

D = 2/(3πnd2) (kBT/πm) 1/2

 

問題:以上是氣體的,那液體(布朗運動)呢?

 

愛因斯坦論文

http://hermes.ffn.ub.es/luisnavarro/nuevo_maletin/Einstein_1906_thesis.pdf

http://www.scribd.com/doc/11460732/a-New-Determination-of-Molecular-Dimensions-2

 

小結

速度梯度:透過黏滯性,傳遞動量,產生剪應力

溫度梯度:透過導熱係數,傳遞熱能量

密度梯度:透過擴散係數,傳遞物質,需滿足連續方程式

 

更細節的理論

課文中介紹的,是較簡易的近似下況所推得的結果,較精密的結果見課本: