能量 與 第一定律

 

溫度之外,另一個 key concept 是 能量

能量及能量轉移在有溫度的情況下,有什麼特性?

能量的變化如何改變?(作功 升溫 量子態)

從一份熱可以做多少功?

 

一些名詞的定義

熱平衡的系統

系統:我們要研究的宇宙的一部分

熱平衡: 巨觀量不再隨時間改變

 

狀態函數

狀態 :(各)巨觀的可觀量與演變的歷程 (或路徑) 無關

狀態 (v.2):與歷程 (或路徑) 無關的物性

我們下面將會具體說明 為何功與熱都不是狀態 

狀態函數:該可觀量 (描述狀態的自變數),在系統平衡後,與時間無關。

狀態函數:有那些?(溫度、壓力)

 

問題思考

兩個系統有某個狀態函數一樣,有什麼意義?

兩個系統有很多個狀態函數一樣,有什麼意義?

兩個系統所有狀態函數都一樣,有什麼意義?

狀態函數是有限個還是無限個?

回答了上述問題,又到底有什麼意義?

 

以下什麼比較接近狀態函數?

姓名?八字?學歷?年齡?(FB)感情狀態?

 

時間是微觀量還是巨觀量?

那空間呢?

 

定義狀態函數的目的:描繪能量

例如,層架上的花瓶與位能(只有高度的不同,其他沒任何相異,低層落下沒事而高層落下則摔破)。

 

狀態函數的用法

描述系統

 

狀態函數的數學處理

描述狀態的一組參數 x = ( x1, x2, ... ) ,構成狀態函數 f(x) (注意這些描述系統的參數本身也是狀態函數,是我們之後想要組合出各種更複雜的狀態函數,才用 f(x) )

此一系統的參數從 xi 變化至 xf

Δf = ∫xixf  df = f(xf) - f(xi)

 

Ex 1.1 三條不同路徑的函數積分值 (見下圖)

系統 由 x 與 y 兩個狀態函數描述

假設 f = x y

則 df = x dy + y dx

Δf = xy |xfxi=> 只跟初態與末態函數值有關。

另外假設 dg = y dx ( dg 是一個 inexact  differential)

則 Δg = ∫ ... ...

見 (11.4)、(11.5) 式,已可見不同(不用再看第三種路徑了) 。

 

重點:狀態函數一定是全微分的形態,否則無法成為狀態函數。

 

 

熱即能量

歷史故事:熱為何物?

熱素

鑽磨砲身發熱不絕

 

熱功當量 (mechanical equivalent of heat) 的測量:焦耳與梅爾

 

西遊記火焰山的溫度;世界紀錄最大支的溫度計的質疑

背著溫度計去蜜月旅行的(疑似)肖仔

 

(牛頓–米在轉動問題中是力矩,等效於焦耳的討論,見 http://en.wikipedia.org/wiki/Joule)

 

 

熱力學第一定律

熱力學第一定律:能量守恆,且熱與功皆為能量之形式

一個系統的內能 U,是其內部自由度之能量的總和。U 是狀態函數。

 

ΔU = ΔQ + ΔW

 

ΔU :系統的內能變化

ΔQ:加到系統的熱

ΔW:對系統作的功

 

問題:系統的內能,真的只能透過加熱與作功這兩種途徑嗎?

問題:一保險箱內置炸藥,密閉後引爆之,內能有沒有改變?

 

對於微小變化

d U = δQ + δW

d U = đ Q +đ W

其中đ Q 和 đ W 都不是 exact differential,也就是 inexact differential

(為什麼?) (Hint:功、熱都是能,而能量守恆。)

 

đW ≡ f dx

因此對氣體,有

đW =  - p dV

其中負號來自 "定" 對氣體系統 "壓縮" 是作 "正功" ,由以上形式,如此足見功不是狀態函數。

 

思考:熱力學方程式中所出現的量,是狀態函數或不是,有什麼重要性嗎?

 

 

 

比熱

我們現在想更深入了解,加入是如何改變 "氣體的" 內能

我們將會看到,從第一定律的框架下,定容比熱與定壓比熱的關係。

作法:dQ = dU + p dV 已知,再代入 dU 與 T、V 的關係,使我們可得 dQ 與 dT、dV 的關係。

 

對氣體,一般 (in general) 而言,U = U(T, V) 

(為什麼這句話是對的?不可以再有更多其他的自變數嗎?) (試回憶理想氣體方程式,總共也才幾個獨立變數而已。)

 

諸多偏微分關係,詳見課本 . . .

dU = (∂U / ∂T )V dT + (∂U / ∂V )T dV

由前面的  dU = d Q + d W 又 dW =  - p dV,則

dQ = dU + p dV

將上式 dU 的完整偏微分形式代入其中,並同除以 dT,得

dQ / dT = (∂U / ∂T )V + [ (∂U / ∂V )T + p ] ( dV / dT )

之前曾定義

CV ≡ (∂Q / ∂T )V

則基於上面 dQ / dT 形式,第二項無貢獻,故有

CV = (∂U / ∂T )V

至於 Cp 則為

Cp ≡ (∂Q / ∂T )p

= { (∂U / ∂T )V + [ (∂U / ∂V )T + p ] ( dV / dT ) }p

= (∂U / ∂T )V + [ (∂U / ∂V )T + p ] ( ∂V / ∂T )p

= CV + [ (∂U / ∂V )T + p ] ( ∂V / ∂T )p

 

Cp- CV  = [ (∂U / ∂V )T + p ] ( ∂V / ∂T )p

 

我們有時希望描述每莫耳熱容或單位質量熱容,故定比熱

cV = CV / M

cp = Cp / M

 

 

Ex 11.2  理想單原子氣體的熱容

每莫耳理想單原子氣體 U = 3/2 RT ,只與溫度有關,故

( ∂U / ∂V )T = 0

再用上了每莫耳分子 pV = RT

,即 V = RT/p ,故

( ∂V / ∂T )p = R/p

由前有之 Cp- CV  = [ (∂U / ∂V )T + p ] ( ∂V / ∂T )p = [ 0 + p ] R/p = R

再由 U = 3/2 RT ,而有 CV  = (∂U / ∂T )V = 3/2 R ,則 Cp  = 5/2 R

 

Ex 11.3 dU = CV dT 普遍成立嗎?

(只有理想氣體才對,詳見課本)

 

一個有用的量, adiabatic index (exponent) ,之後會用到

γ = Cp / CV

 

Ex 11.4 理想氣體的 γ值計算

 

Ex 11.5 理想氣體的 (i) 單位質量內能與 (ii) 單位體積內能 計算