等溫 (Isothermal) 與 絕熱 (Adiabatic) 過程

 

我們在此要進一步探討能量進出氣體系統的細節，即熱流與各狀態函數的關係。

第一定律告訴我們，不止對氣體而言，內能只與熱和作功有關，因此兩個較單純的情況是氣體在等溫與絕熱條件下的變化。

這兩種變化，在利用熱流來作功（即引擎）這件事情上，以及後來的熵的探討，用處很大。

不過，這兩種過程都是所謂的可逆過程（也正因它們是可逆過程，才那麼重要），因此，以下先談熱力學過程的可逆性。

（註：熱力學過程，意指狀態函數改變的一連串階段。）

Adiabatic 也有翻譯作緩漸過程，但較不常見。

伏筆：思考：各種可逆過程有什麼共通特性嗎？（重要）

 

 

可逆性 (Reversibility)

物理定律是可逆的，意指若時間反轉，好像影片倒轉撥放，其中景像仍可能發生（符合物理定律）。

至於不可逆者，如雞蛋自桌面滾落地上落地 砸碎，是一個位能轉換成動能並且產生一些熱的過程。另一例是電流 I 造成電阻 R （每單位時間）發熱 I2R。

物理定律並未禁止上述過程逆轉，但現實中我們幾乎看不到那樣的事發生。

對於（某種位能轉換而）有熱產生且之後消散在環境中的過程，都是不可逆的。而背後的理由似乎是，把能量分配成熱有非常多不同的可能性（比起不透過熱的途徑）。

思考：什麼是熱的途徑？不就是機率特別多的途徑？那什麼是，熱？

也就是說，這樣的不可逆性從何而來，與機率有關，再次以硬幣正反面出現機率的微觀與巨觀態來作探討：

Ex 12.1 一百個相同硬幣

結果正反各半的，與一正其他全反者，機率差非常多。（1027 倍）

以上的例子，說明了巨觀量要怎麼表現，有時間方向上的偏好。

 

 

理想氣體的等溫膨脹

維持等溫，故

ΔT = 0

對理想氣體而言

dU = Cv dT

因此，一個等溫過程

ΔU = 0

這是因為其內能只與溫度有關，亦即

d U = 0

這表示，

dW = -dQ

則

ΔQ = -∫ dW = ∫V1V2 p dV = ∫V1V2 (RT / V) dV = RT ln V2/V1

 

 

理想氣體的絕熱膨脹

Adiathermal : 絕熱

Adiabatic : 絕熱 且 可逆

(可逆) 絕熱膨脹有

d Q = 0

既然完全沒有熱流出入系統，我們轉而想知道，此一過程始末，該系統在各狀態函數上的差別

由於 d Q = 0，我們能用的條件是：

d U  = d W

現在把等號兩邊與狀態函數的關係式寫出來，其中

d U = CV dT（理想氣體適用）

另有

dW = -pdV （可逆條件用上）

合併以上兩條件，我們因此有，對一莫耳的 (理想) 氣體

Cv dT = -p dV = -(RT / V) dV

移項

(1/T) dT = - R/CV (1/V) dV

積分得

ln T2/T1 = -R/CV ln V2/V1

此式可再進一步整理

利用 Cp = CV + R， 同除以 CV 得 γ = 1 + R / CV ，故 R / CV = γ- 1，即

ln T2/T1 = -(γ- 1) ln V2/V1

ln T2/T1  = ln (V2/V1)-(γ- 1)

T2 V2γ- 1 = T1 V1γ- 1

即

T Vγ-1 = 常數

或

p 1-γ Tγ = 常數

也就是

p Vγ = 常數

（最後這個形式最好記）

 

 

兩種過程的曲線

 

(可逆) 絕熱大氣層

前面曾出現過的 "流體靜力學方程式 (hydrostatic equation) " (4.23)（第42頁）， 額外的壓力來自

dp = -ρg dz

使用 p = n kBT 、 ρ= n m ，得 ρ= m p / kBT

dp / dz = - mgp / kBT

移項整理得

T dp / p = - (mg / kB) dz

對等溫大氣而言，T 是常數，即得 Ex 4.4 之結果。（但整個大氣並非同溫，故不太合理。）

 

更好的近似會是，氣體的一個區塊與其周圍沒有熱交換。也就是說，如果一個區塊的氣體上升了，它就進行 (可逆) 絕熱膨脹。

(為什麼這是一個比等溫大氣還要好的近似？)

 對於一個 adiabatic expansion, 前已得之關係式 " p 1-γ Tγ = 常數 " 讓我們可以反推出微分方程形式的關係式：

( 1 - γ) dT / T + γ dp / p  = 0

把這個 dp / p 代換上式中 得

dT / dz = -(γ- 1) /γ mg/kB

定 Mmolar = NAm ，並使用了 R = NA kB、(γ- 1) /γ = R / Cp ，得

dT / dz = - Mmolar g / Cp

其中 Mmolar g / Cp  叫做 adiabatic lapse rate (lapse：流逝、間隔)。對乾空氣是 9.7 K / km，實測質則在 6 至 7 K / km。

（過去課本所學的，每百公尺降低 0.6 度 C。）

 

（爬山與坐飛機的經驗是，越是高空，氣溫越低。問：然後就一路呈線性衰減方式低下去嗎？）