熱物理第一次小考（2012 十月）

20 題，每題 5 分

1. 熱的定義是什麼？

因溫差而造成的能量流動 (Heat is energy in transit.)。

 

2. 何謂熱平衡？

巨觀量不再隨時間而改變。

 

3. 波玆曼因子是怎麼推導出來的？其要成立需有何假設或先決條件？

見課本推導 (4.9) ~ (4.13)；系統須已達熱平衡

 

4. 舉兩個波玆曼分佈的例子？

自行舉例。（如：水的蒸發、化學反應的活化能、太陽上氫矽融合。）

 

5. 何謂熱力學第零定律？為何需要這個定律？

陳述：若 A、B 已達熱平衡， B、C 也已達熱平衡，則 A、C   必定也是已達熱平衡。

為溫度（溫度計）的定義與使用提供嚴謹的理論基礎。

 

6. 溫度的統計學定義（即溫度與微觀態的關係）為何？請由 canonical ensemble 的性質將之推導出來。

1 / (k_BT) = ∂ ln Ω / ∂ E

見課本推導 (4.1) ~ (4.7)

 

7. 寫下史特林近似公式，並估計 10²³! 的數量級。

ln N! = N ln N - N

答案見課文例題 Ex 1.4 (1.18) ~ (1.20)： 10²³! ~ 10^2.26×1024

 

8. 任何機率密度分佈函數應該滿足的條件有那些？

恆正 ( P(X) ≥ 0 )、歸一 (∫ P(X) dX = 1 )

 

9. 寫下 高斯分佈函數 及其積分結果。

e -ax2 或 e-a(x-b)2, 見課本公式 (C.3)

 

10. 從機率統計的觀點，說明為什麼多次重覆實驗有助於提昇數據的精確性。

Y = Σ_i X_i ，對各 X_i  都一樣者，

σ_Y = √nσ_X

即

σ_X = σ_Y / √n

n 越大, σ_X 越小

 

11. 一疊撲克牌有沒有溫度？如果有，如何計算？如果沒有，要怎麼樣才會有？

一疊撲克牌有多張不同花色的牌，故能排出的可能順序的數目有多種可能性，構成了排列組合與機率的問題，但這仍不足以定義溫度。

因為依照溫度的定義，溫度是 1 / (k_BT) = ∂ ln Ω / ∂ E ，其中 Ω是所有可能的狀態數，但光是這樣，每種排列還是不能夠被叫做是一個系綜的微觀態

如果把那一疊撲克牌，放在一個晃動得非常厲害的機器或車子上，使每張卡片都亂跳個不停，就滿足了。

至於能量，可以是外界賦加上去的一個組態與能量的關係，如同電偶極矩在電場中的角度組態決定了電位能那樣；或者至少也可以是具有質量之卡片其飛行時的動能。

回答有者：要說出構成溫度之公式的內容各項與規撲克牌特例之物理量對應（不必自行假設條件及估算）

回答沒有者：要說出此例中缺乏之定義溫度的基礎是那些項，並提出可能滿足之方式（如，使卡片亂跳之類）。

 

12. 請寫下馬克斯威爾速率分佈公式，並說明其中每一符號之定義。

見課本 (5.12)

 

13. 基於某速率分佈 f(v)，推導出理想氣體之壓力與均方速率的關係 p = 1/3 m n < v² >（可利用 ∫₀^π/2 cos²θ sinθ dθ = 1/3 ）

見課本推導 (6.10) 或 (6.13)  ~ (6.15)。

 

14. 說明關係式 < v² > = 3 k_B T / m 會成立所需的前提假設，並在該前提下證明此關係式。

(單原子)氣體達到平衡, Maxwell-Botzman 分佈成立。見課文 (5.14)。

 

15. 導出平均撞擊（間）時間 τ = 1/ (nσv)

見課本推導 (8.1) ~ (8.10)

先導 mean-free-path 再求倒數者亦可

16. 理想氣體分子的平均自由路徑是多少？

無限遠，或容器長。（理想氣體分子無大小、不交互作用，故不相互碰撞。）

 

17. 寫下分離鈾同位素的方法及利用到的性質之公式？

用到的性質是分子質量不同者，其逸散率不同，(7.1) 或 逸散率公式 (7.9) （見課本）

 

18. 描述（即可）黏滯係數、導熱係數、擴散係數如何從氣體動力論推導出來。

見課本內文作概述：上列係數皆是 flux （流量）與某個函數場之梯度的比例關係係數。基於氣體動力論可再具體推導出流量與函數場梯度之間的具體關係，如此決定了題問中的三種係數之表示式。

 

 

19. 寫下擴散方程式與熱擴散方程式。

擴散方程式 ：∂n* /∂t    =  D ∂² n* /∂z²

熱擴散方程式 ：∂T / ∂t  = D ∂² T / ∂x²

 

20. 地窖冬暖夏涼、葡萄藤冬季埋入土中，何解？

地面下的溫度較大氣恆定（比熱大且有地心高熱）、較冬季的空氣溫度高、較夏季的空氣溫度低。