熱物理第二次小考（2012 十二月）

15 題，每題 7 分

一、寫下熵的定義，並解釋公式中的每一個符號。

dS = dQ_rev/T

 

二、證明孤立系統中的熵永遠增加，即 dS ≥ 0。（提示：從 ∫_C dQ / T ≤ 0 出發）

課本 (14.4) ~ (14.9)

三、馬克斯威爾精靈似乎會造違反熱力學第二定律。如何解釋/解開這個矛盾？

精靈須要記住粒子的位置，當刪除記憶以騰出空間時，熵增加。故並為違反第二定律。

 

四、寫下全部由狀態函數所表示出的熱力學第一定律，並具體解釋公式中的每一個符號。

dU = T dS - p dV

 

五、氣體的體積變為雙倍的焦耳膨脹，其熵的改變是多少？

課本 (14.29) 或 (14.38)： ΔS = R ln 2

 

六、寫下 Gibbs 的熵的定義。

課本 (14.48)：S = -k_B Σ_i P_i ln P_i

 

七、寫下 Shannon 的熵的定義。

課本 (15.2)：if Q = -k log P ,  S = < Q > = Σ_iQ_i P_i  = -k Σ_i P_i log P_i

八、計算一個公正骰子以及一個不公正骰子 (P_i = 1/10, for i = 1~5, P₆ = 1/2) 各別的夏儂熵，以 bits 表示出來。

課本 Ex 15.1 ：S = k log √(20)  = 2.16 bits (其中 k 取 1) (答 log √(20) 即可)

 

九、描述或陳述夏儂的無雜訊通道編碼定理。

一資訊源其熵為 S，且 R > S，則存在一個可靠壓縮其壓縮比率是  R。

 

十、寫下 von Neumann 量子熵的定義，並解釋公式中的所有符號。

課本 (15.7) S = -Tr (ρ ln ρ)

 

十一、陳述貝氏 ( Baye's ) 定理。

課本 (15.21) P(A|B) = P(B|A) P(A) / P(B)

十二、何謂最大熵估計方法？對應到熱力學上的例子為何？

基於部分資訊機率所寫下的熵，在既定限制條件下，認定系統運行的法則，乃能使該熵最大化者。最大熵估計方法藉此描述系統的統計（平均）行為。

一個熱力學上的例子是：波玆曼分佈可以得自於，在總能 U 守恆的約制條件下，最大化 Gibbs 熵的結果。

 

十三、寫下 焓 H、Helmhortz 函數 F、Gibbs 函數 G 的定義。並默寫全部四條馬克斯威爾關係式。

課本 (16.8) (16.15) (16.21) 及 (16.24) 後之表

 

十四、各在怎麼樣的外在條件下， 系統自由能 F 及 G 會趨於最小？

F：固定溫度、體積

G：固定溫度、壓力

 

十五、求一莫耳理想氣體的熵。

課本 (16.77) ~ (16.82)