熱物理 期中考（2012 十一月）

10 題，每題 10 分

 

一、焦耳得以精準測量熱功當量的關鍵有那兩點？

1. 控制受熱液體與外界環境的溫差極小，使熱耗散減至最低。

2. 用長的溫度計使細刻度放大可辨，讀溫度數據精密讀取。

 

二、熱力學中的狀態函數為何（有那些）？其數學形式上要滿足什麼條件？

1. 壓力、體積、溫度、熵，皆是。

2. 必須為全微分形式者。 ∫AB dF  = F(B) - F(A)

 

三、時間為什麼是有方向性的？

巨觀世界的變化中，涉及熱耗散者，其可能的過程極多，故雖每個微觀態過程皆是物理定律上的可逆，但總體巨觀變化要倒轉的機率極低。

 

四、導出理想氣體等溫過程中，熱流與體積的關係。

維持等溫，故

ΔT = 0

對理想氣體而言

dU = Cv dT

因此，一個等溫過程

ΔU = 0

這是因為其內能只與溫度有關，亦即

d U = 0

這表示，

dW = -dQ

則

ΔQ = -∫ dW = ∫V1V2 p dV = ∫V1V2 (RT / V) dV = RT ln V2/V1

五、導出理想氣體絕熱過程中，壓力與體積之間的關係。

(可逆) 絕熱膨脹有

d Q = 0

既然完全沒有熱流出入系統，我們轉而想知道，此一過程始末，該系統在各狀態函數上的差別

由於 d Q = 0，我們能用的條件是：

d U  = d W

現在把等號兩邊與狀態函數的關係式寫出來，其中

d U = CV dT（理想氣體適用）

另有

dW = -pdV （可逆條件用上）

合併以上兩條件，我們因此有，對一莫耳的 (理想) 氣體

Cv dT = -p dV = -(RT / V) dV

移項

(1/T) dT = - R/CV (1/V) dV

積分得

ln T2/T1 = -R/CV ln V2/V1

此式可再進一步整理

利用 Cp = CV + R， 同除以 CV 得 γ = 1 + R / CV ，故 R / CV = γ- 1，即

ln T2/T1 = -(γ- 1) ln V2/V1

ln T2/T1  = ln (V2/V1)-(γ- 1)

T2 V2γ- 1 = T1 V1γ- 1

即

T Vγ-1 = 常數

或

p 1-γ Tγ = 常數

也就是

p Vγ = 常數

 

六、卡諾引擎為何？

由理想氣體的兩個等溫、兩個(可逆)絕熱過程，連接至高、低溫兩熱庫所構成(可逆)循環。

 

七、將理想氣體進行卡諾循環的熱流比 Qh / Ql ，以溫度比 Th / Tl 表示出來。

Qh / Ql  = Th / Tl

 

八、引擎的效率如何定義？卡諾引擎的效率為何？

1. η ≡ W / Qh，其中 W 是作功， Qh 是 高溫熱流

2. ηC = 1 - Tl / Th

 

九、證明：所有連接兩個溫度（熱庫）之間運作的熱機，其 (引擎) 效率不會超過卡諾引擎者。

如果存在 E 比 Carnot engine 效率更高，即

ηE > ηCarnot

即

W / Q'h > W / Qh

因而

Qh > Q'h ，也就是說 Qh - Q'h > 0

另外，基於熱力學第一定律，

W = Q'h - Q'l = Qh - Ql

Qh - Q'h  = Ql - Q'l

從上面 Qh - Q'h > 0  因此上式等號左邊為正，故等號右邊也是

但我們仔細看這個 Ql - Q'l 相當於自低溫熱庫 Tl 所抽走的熱量，如果它可以是正的，代表熱力學第二定律己經違反（故前面假設不可能成立）。

 

十、何謂克勞修司定理？

∫AB dQ/T ≤ 0 ，其中等號在過程為可逆時（即 dQ = dQrev） 成立。