基礎物數十大重點，十大問

什麼是向量？什麼是張量？

滿足向量之座標轉換規則者，為向量。

物理量必以純量、向量與張量（包含向量與純量）表示，俾使座標轉換下物理定律不變。

不是向量的例子：紅綠藍 (RGB) 亮度、三圍、三維轉動。

是向量的例子：速度、氣壓氣流、無限小轉動（因此角速度）。

三維純量場的斜率（梯度）

協變與反協變的差別

矩陣的物理意義

 

對角化是什麼意思，有什麼用？

座標基底轉換

座標基底轉換時，不只向量各分量要按規則變換為 R v ，連矩陣 M 也要同步作所謂的 相似轉換 R M R^-1

，假設 u = M v，對新座標基底而言 u' = Ru，M' = RMR^-1，v' = Rv

故 在新座標基底下 M' v' = (R M R^-1) (R v) = R M v = R v = u'

如此可見，沒有改變任何矩陣乘上向量 M v (= u) 的結果

 

不改變問題本質（本徵值與本徵向量）的情況下，M v = λ v => D e_i = λ_i e_i

 

導數、偏導數、全微分、保守場（力）

d f / d x = d/dx f = lim_Δx→0 [ f(x+Δx) - f(x) ] / Δx

∂f(x,y) / ∂x = lim_Δx→0 [ f(x+Δx, y) - f(x,y) ] / Δx

若 u = u(x,y,z) , 則 d u = (∂u / ∂x) dx + (∂u / ∂y) dy + (∂u / ∂z) dz = Σ_i (∂u / ∂x_i) dx_i

全微分 dF 只要加上了積分符號 ∫dF ，就是原函數 F ，即 ∫dF = F

 

純量場梯度向量與全微分之間的關係

保守力與位能

保守場與位場

 

泰勒展開式

公式：f(x+Δx) = Σ_i=0^∞ f⁽ⁿ⁾(x) (Δx)ⁿ / n!

證明：

 

向量與函數的正交性

向量的正交性與基底

 

正交歸一基底的好處

算內積時不必處理交叉項

函數的正交與歸一

∫ f(x) g(x) dx = 0 ， ∫ f(x) f(x) dx = 1

向量以基底展開得分量（係數）的方法

v = | v > = Σ_i | e_i > < e_i | v > = Σ_i | e_i > v_i  = Σ_i v_i e_i = v_x e_x + v_y e_y + v_z e_z

 

傅利葉級數展開係數的求法

 

微分方程式的解與通解

齊性與非齊性式，對應到齊性解與特殊積分

待定常數的期待，與確定的方法

矩陣、反矩陣與行列式值

矩陣

線性代數方程組 Mx=k，以三維為例，每個 ax + by + cz = r 就是一個平面方程式。（為什麼？ 以通過原點的平面為例，凡面上之點，滿足 (a, b, c) · (x,y,z) = 0，至於等號右邊不為零者，僅差平移 x' = x - h, y'= y - k, z' = z - l，使 (a, b, c) · (x',y',z') = 0，即有 (a, b, c) · (x,y,z) = (a, b, c) · (h,k,l) = r 。）

故三個平面可相交於一點（法向量線性獨立，即不共面）、一條線，或面重合（法向量共面），或不相交（法向量共線）。

 

兩類核心數學問題（標紅色者為未知數，待解）

M x = b

M x = λ x

 

正交矩陣的定義與特性

定義：O^T = O^-1

特性：（一）任兩相異行列向量正交，相同者內積為 1 ，（二） 實空間座標旋轉是正交矩陣

 

么正矩陣

定義：U⁺ = (U^T  )* = U^-1

特性：（見課本，是正交矩陣的推廣）

 

Hermitian 矩陣的定義與特性

定義：H⁺ = (H^T)* = (H*)^T = H

特性：（一）本徵值為實數、（二）相異本徵值所對應之本徵向量必正交。

 

 

 

反矩陣

並非所有方矩陣皆有反矩陣，行列式值不為零的方矩陣才有。

公式法求反矩陣：

(M^-1)_ij = cofactor (M)_{j i} / det (M)

其中 co-factor of M 的 定義是，... （見課本 or   "http://zh.wikipedia.org/wiki/餘因子矩陣"）

高斯法求反矩陣：

原理：線性方程式對調式列及加減消去，其解不變

方法：（見講義）

 

性質

(AB)^-1 = B^-1A^-1

 

行列式值

原理

平行六面體之體積（本徵值為零者如何？）

 

性質

det (AB) = det(A) det(B)

det(A^-1) = 1 / det(A)

本徵值問題

M x = λ x

 

 

Σ_i=1³ ε_ijk ε_ilm = δ_il δ_km - δ_im δ_kl

Levi-Civita symbol ε_ijkl 的定義與意義

定義：ε_ijklm 要經過奇數次指標對調才能回覆到 ε₁₂₃₄₅ 者，其值為 -1 ； 要經過偶數次指標對調才能回覆到 ε₁₂₃₄₅ 者，其值為 +1 ；有任何相同指標出現，如 ε₁₁₃₄₅ ，之情況，其值為 0。

定義：完全反對稱性

公式的用法 ： A × B = Σ_i ε_ijk e_i A_j B_k ， ∇ × A = Σ_i ε_ijk e_i ∂_j A_k

預期功能：

證明各種相關（含外積符號）的向量微分恆等式 （如 A × B × C ，以及 ∇ × ∇ × A 等）

由 馬克斯威爾方程式 推導出 電磁波動方程式

 

δ_ij 與 Σ_i 的用法 （見網頁 連結）

高斯定律與史托克斯定律

∫∫∫∇· A dv = ∫∫_CS A · dS  ( or = ∫∫_CS A · n dS )

∫_CL ∇× A · dS = ∫_CL A · dl 

變分結果 Euler-Lagrange 方程式

L = T -V

∫_x0^x₁ L( x , x' ; t ) dt 有極值的必要條件是 x(t) 滿足 Euler-Lagrange 方程式