前已有
注意，(線性)變換係數是座標的函數，因此不同位置上向量的變動也不一樣。（回憶：Vμ 像是基底向量及梯度向量）
因此，d Aμ 不是一個張量，它涉及不同位置上向量的相減。我們可以直接 (依定義) 寫下 Aμ 的微分再變換座標看看（即上式對 x-barγ 一個微一個不微），結果為
上式 ∂Aμ /∂xβ 果然不是張量
回憶
組合偏微分與Γ，以下可看出滿足張量之形式
因此，定義符合張量
（問題：符合有什麼好？不符合又怎樣？）
（卡氏座標下，Christoffel 符號為零，故協變微分完全同義於一般微分）
（補充）幾何詮釋：向量如何平移？
協變導數是一個張量
反協變導數也可定義
對任何張量取協變導數，規則如下：
例如：
metric tensor gij 及 Kronnecker delta δij 的協變微分恆為零（見課本習題 1.38 ）。