矩陣的定義、特性、規則

綜覽

矩陣的意義與目的

前言：從線性方程組與轉動談起

注意 a₂₁ 是在 a₁₁ 的下面, a₁₂ 則是在 a₁₁ 的右邊

 

線性方程組

a₁₁ x₁ + a₁₂ x₂ + ... = b₁

a₂₁ x₁ + a₂₂ x₂ + ... = b₂

:

a_n1 x₁ + a_n2 x₂ + ... = b_n

 

本徵值問題

M x = λ x

見於多種物理學門：

 

在力學上的應用

座標轉換

轉動慣量

彈性係數張量

 

在電磁學上的應用

介電張量：

電位移向量 D = 介電張量 ε × 電場向量 E

或 電(偶)極化 P = 極化率 χ × 電場向量 E

 

在量子力學上的應用

可觀量是算子 (矩陣力學)

H Ψ = E Ψ

 

 

 

矩陣間的基本運算

相等

A = B

元素全等

 

相加

A  + B = M

元素各自相加

 

乘上一個係數

a M = [ a M_ij ]

各元素乘上同一個係數

 

相乘

定義

c_ik = Σ_j=1 a_ij b_jk

 

思考：為什麼是這樣定義？（例如，為何不是 c_ik = a_ik b_ik）

線性轉換與矩陣運算的淵源

以線性關係來變換一組量（例如，向量分量的座標變換），y -> x 透過 A (關係 x = Ay)、z -> y 透過 B (關係 y = Bz)，也可直接 z -> x 透過 C (關係 x = Cz)，則應有 C = A B

見 (3.8) ~ (3.11)  之 2 × 2 矩陣詳例

 

Ex 3.5 座標軸轉動 （重要） p.106

 

 

結合律 (AB)C = A(BC) 與分配律 (A+B)C  = AC + BC 成立，證明見課本