幾何 (I)

 

形狀的數學、實驗的數學

想像力發揮、心中的小宇宙、"模型"

形狀、比例與相似性

從設計圖到完成品,形狀的相似性

繪製地圖

Geo 希臘文原意是土地、測量。"幾何" 是徐光啟、利瑪竇翻譯。

 

希臘的幾何成就

畢達哥拉斯定理:

問題:何謂畢氏定理?(作業:如何定義直角)

古中國叫"勾股弦定理"

古書中甚至轉述大禹因此治水成功,換用現代的語言,是應用數學原理成就精密的大型工程。

證明的方法很多,(但在此不採用三角函數的正餘弦定理 sin2θ + cos2θ = 1,這是因為這個三角函數的定理本身就是由畢氏定理證明出來的),以下介紹一個比之圖像化的證明。


(圖片出處:維基百科)

http://zh.wikipedia.org/zh-tw/勾股定理

我們怎樣看畢氏定理?

多維度空間中長度的本質。即,長度與其投影在低維度堛漯曮蛂A它們之間有一定的關係。

 

需要畢氏定理?

生存在一維空間中之智慧形式。

 

歐基里德:公設與證明

古希臘數學家歐幾里得的《幾何原本》提出了五條公設。頭四條公設分別為:

  1. 由任意一點到任意一點可作直線。
  2. 一條有限直線可以繼續延長。
  3. 以任意點為心及任意的距離可以畫圓。
  4. 凡直角都相等。

第五條公設說:同一平面內一條直線和另外兩條直線相交,若在某一側的兩個內角的和小於兩直角,則這兩直線經無限延長後在這一側相交。

是直尺與圓規的幾何

 

思考:三角形的內角和為 180 度,四角形...、五角形...,有規則可循嗎?

 

奧依勒的多面體公式

v - e +  f = 2

其中 v、f、e 各代表 "頂點 (vertex)"、"面 (face)"、"邊 (edge)" 的數目。

http://140.128.93.186/~chents/MG11

如何理解

雕刻家的觀點

思考三角錐頂點、四角錐頂點、. . . n 角錐頂點,在截去一角 ( v' = v - 1 + n ) 來增加了一個面 ( f' = f + 1) 時的結果:同時也增加了 n 個邊 ( e' = e + n )

(值得注意的是,上述截角的動作是可 逆的。 )

可見 v' - e' + f' = v - e + f  會是常數

剩下的問題是,這個常數值是多少

考慮最簡單的四面體錐

1 + n = (n - 1) + ?

可見這個 "?" 是 2

一次截去兩個頂角可以嗎?試試看

一次切掉兩個頂點的情形

分析:假設切面與多面體相交的新斷面有 n 個頂點,

頂點:v' = v + n - 2 (產生了 n 個新頂點,但原本有兩個頂點被截掉了)

邊:e' = e + n - 1 (環狀 n 頂點圍出 n 個邊,但原截角兩個頂點間有一個邊少掉了)

面: f' = f + 1 (截角的動作,並未讓原面體的面有減少,反倒是多了一個截面)

如此,仍舊一樣是 v' - e' + f' = v - e + f

(其他的證明方式可見維基百科或科普書)

證明 : http://plus.maths.org/content/eulers-polyhedron-formula

 

補充:高維度公式
( http://www.math.osu.edu/~fiedorowicz.1/math655/HyperEuler.html )

 

光學與幾何

(幾何起源很早,與光學的關係也很密切)

為什麼近的東西看起來比較大?

視線從眼中射出?

反射與折射

面鏡與透鏡

大一物理中的幾何光學

http://163.13.111.54/general_physics/week-08_day-1__geometrical_optics.html

 

解析幾何

座標

結合了函數與幾何,空間中的直線、曲線,都是函數或滿足某方程式的解。

 

 

向量空間(解析幾何與向量的關係)

向量:高中數學的定義?

 

維度?

線性獨立

有 N 個向量,若任何一個都不能夠透過其他的向量線性組合而成,則這 N 個向講線性獨立。

線性相依

無法構成線性獨立時稱之

向量:大學物理學的定義

座標轉換(詳見下次上課內容:幾何 II)

 

向量空間:

該空間中有乘與加兩種操作。係數乘上基底向量是基本單元。向量是可以加減的,而係數(純量)則乘在向量上,要滿足一些規律,並構成封閉系統。

(維基百科:http://en.wikipedia.org/wiki/Vector_space、MathWorld:http://mathworld.wolfram.com/VectorSpace.html
(定義堶閬n也有談到 體(filed) 的,詳見 http://mathworld.wolfram.com/FieldAxioms.html

 

向量間的內積與外積

向量的內積

我們為什麼想要知道向量的內積:(1) 想知道向量的長度 (2) 想知道向量的分量

(幾何意義是:任一向量在另一向量上的投影大小,兩種作法的結果是一樣的。)(為什麼?)

 

向量的外積

我們為什麼想要知道向量的外積:電磁交互作用的勞倫玆力、描述轉動(但小心轉動本身不是向量、轉速才是,因此角動量仍是向量)。

(幾何意義是:兩向量撐開之面積大小、方向是撐開面之法方向。)(在三度空間就是體積嗎?不是,向量三重積,即 A · (B × C) 才是三個向量撐開來的平行六面體體積)

外積之大小等於張開之平行四邊形面積一事,是可以透過 :"移一塊補一塊" 的策略證明,請大家自行試試看。

更高維度的情形:n 個向量在 n 維空間張間來的體積,是該 n 個向量將各自分量排成矩陣後的行列式值。至於 n × n 矩陣的行列式值怎麼算,是有公式及規律性的。

作業:二維向量兩個求外積,試與其分量形式所組成的行列式值作比較。

 

 

延伸知識:函數空間

(下次上課介紹)

 

(數學)物件

三度空間堛(數學)物件:點、線、面、體

直線

如何寫下一條直線的方程式?

多問一句:如何寫下一個平面的方程式?

 

曲線

合宜的參數表示法

一條曲線是可以用參數來表示的,只要這個參數滿足一些基本的、不太離譜怪異的要求。

 

曲線的範例:

點集合 (x1, x2) 的一般形式用極座標表示

x1 = r cosθ , x2= r sinθ

 

阿基米德螺線

依上面定義的 (x1, x2),其中

r = a θ , ( a ≠ 0 )

產生上圖的程式 spiral_of_archimedes.f

 

狄奧克勒斯 蔓葉線

r = 2 c sin2θ / cosθ , ( c ≠ 0 )

產生上圖的程式 cissoid_of_diocles.f

 

Conchoid (蚌線) of Nicomedes       (不是 蚶線 limacon)

r = a / cosθ+ c , ( a ≠ 0, c ≠ 0 )

產生上圖的程式 conchoid_of_nicomedes.f

http://mathworld.wolfram.com/ConchoidofNicomedes.html

http://en.wikipedia.org/wiki/Conchoid_%28mathematics%29

 

Trisectrix  (三等分角線) of Maclaurin

r = a / cos(θ/3) , ( a ≠ 0, θ = 0 ~ 3π)

產生上圖的程式 trisectrix_f_maclaurin.f

 

 

曲線自身的參考座標

空間彎曲與否,是不是非得要跑到更高維度才看得出來?住在低維度空間的生物有什麼線索可用?(答案:非歐幾何時,歐氏幾何已建立的公設是不能用了。如三角形內角和大於 180 度)

事實上,即便二維都是很勉強的,因為那些生物都不可能有消化道(想像一下)。

有同學問,是否零維與一維就不知道或沒有所謂的空間彎曲?答案是的確如此:得知空間彎曲需要曲率作為資訊,因此至少要有兩個維度,一個是切線方向,另一個是垂直於切線方向。另一考慮的角度,測度張量的定義 gij = ei · ej, 因此至少需兩個線性獨立的向量作基底才有最起碼的測度張量。這呼應我們前面講過的,一維生物不需要畢氏定理。

 

弧長作為曲線的自然參數

弧長的觀念,可以從多邊線段的長度來思考。上圖每一直線段都可由畢氏定理明確得出(因為我們知道那些點的 x 及 y 座標),故可加得總長。如果切分越來越細,而總長趨於某一定值極限。

 

這個 l   可以被證明將與選取參數表示法無關。(但這個 l 真的是我們所認知的弧長這種東西嗎?怎麼看出來?關鍵在 dx = (dx/dt) dt = x· dt,即 dx = √(dx · dx) = √(x· · x· ) dt )

弧長本身可以依其長度發展的變化而拿來當作一個表示曲線的參數,它與原參數之間的關係只要仿照上式定義來定成以下的形式即可:

利用這個定義,可證明(在此不列),弧長本身滿足作為曲線之參數表示法的規定要求,它的確是可以拿來作為描述曲線的參數。

以 dx  = (dx1, dx2, dx3) 代表微小線段向量,則根據畢氏定理(二維的連套用兩次),可以確認 s 真的具有弧長的意義

 

範例:圓螺旋線

x = ( r cos(t), r sin(t), c t )

補充思考:

如果我們要用電腦去表現任何的曲線,不管拿到的是公式的 x(t) 或是數據的 X(I) ,我們都能自行建立合適的參數來繪圖。

 

這堿J然提出了弧長可做為參數使用了,則座標對參數之微分就有對特別的 s 及一般的 t 了,以下用 prime 及 dot 在符號上區分它們的不同:

 

斜率、曲率、扭率

切線方向(斜率

曲線進展的方向是

上式有沒有除以 h 都沒有關係的。

取極限的情況,可得單位切(線)向量

如果換從在參數 t 的表象(表示法)堙A則有

利用以下性質(由 s(t) 的定義可看出)

便可得到

如此可以看得出它的確是單位向量 (小心切向量 t 與參數 t 是不同的東西)

 

曲率

切線方向如果一直不變,就是一條直線(相對於其所在的空間而言)。

如果切線單位向量隨著參數而改變,必定產生彎曲。將單位切線向量對弧長為分,得到以下的向量 k(s) (沒有特定命名,但依其方向定出的單位向量叫作法方向,後面會提到)

其大小叫作曲率 κ(s)

可定義  曲率半徑

 

不用弧長作參數,而以一般的參數表示曲率時,複雜很多(不重要,僅供參考)

 

切線變化方向的單位向量,又叫曲線的法向量 (Normal Vector) :

 

我們再定 bi-normal vector ,為突出垂直於 tp 所張開的平面,下面談扭率的時候要用

tpb 形成右手系座標軸

 

扭率

曲率測度曲線偏離切線方向直行的程度,而扭率則測度偏離密切面(osculating plane,即 tp 構成的面)的程度(下圖中的 N 就是我們公式中定義的 normal vetor p

我們可以看出

定為如下

由於 b' 與 p 平行,故扭率 τ 為

 

思考:東京迪士尼與上海迪士尼都建造了一樣的雲霄飛車,要怎麼樣確認?

 

思考:扁式耳機線可減少收捲時打結,如何理解?

 

重要性質

若將一條曲線的局部變化以泰勒展開式加以分祈,則會發現,以弧長為參數,以 tpb 為 x1、x2、x3 的座標軸,則 x1、x2、x3 的變化全由弧長、曲率與扭率決定,這個公式叫做正則表象(canonical representation)。

事實上,曲率與扭曲唯一決定了一條曲線(在不計位置的情況下)。(叫做 "空間曲線的基本定理",)

 

平面

一個典型的例子,三角形內角和等於 180 度,(補充:三角形的外角和等於 360 度;凸多邊形的外角和是 360 度)

http://dropwa.com/math/polygon/poly_3t.htm

 

曲面

裁縫師要能懂曲面的幾何,因為布是平面而衣服是立體的

曲面彎曲如何描述?(與曲線一樣,透過曲面法方向沿參數延伸時的變化)

曲面上能有直線嗎?(法向量是曲面的一個重要特徵量,曲面上的線在曲面法方向的投影,呈一直線者,即相當於曲面上的直線。)

曲面上之 "直線" 的特性:法向量投影後斜率沿發展方向不變,連接兩點間長度最短(測地線)。

 

如何在曲面上建立座標?

要用兩個參數 u1, u2 (在此用上標來標示參數,不是次方的意思),空間中的點則由 x(u1, u2) 來描述。

要作為一套合理的表面參數,須要求 x(u1, u2) 是 1-1 (1對1) 的對應。並且切線向量 t1t2t1 × t2 恆不為零

 

曲面的法向量

 

曲率

一個曲面有 first funcdamental form 及 second fundamental form 這兩個量。

高斯曲率

黎曼曲率張量

 

空間

空間是幾何的舞台,抑或是演出者?

(問題:宇宙的空間膨脹,所有的東西都放大,對地球上生活的我們而言,不是都分不出來嗎?例如所謂膨脹的氣球圖像,在氣球上畫一隻螞蟻、則螞蟻不是會跟著膨脹嗎?)

 

維度

我們自己是知道存在於(巨觀)的三度空間,這是因為此空間中兩點的距離是透過 s 2 = x2 + y2 + z2  而得來的

 

幾何學所認為的空問本質

空間可以彎,但局部仍是平的(只要取夠小的範圍看)

(反例:不可微分的函數)

 

前面的結論,弧長是曲線最自然的參數

也就是說,一維空間堙A兩點間的距離(長度)是最基本的。問如何定距離,只要推廣距離的定義,就推廣了空間的概念。

(想像我們定義一個量, 叫做 "離距" <- 在此亂創名詞一下, 見下:)

 

測度(metric,定距離,或 norm)

d(P,Q) 必須是實數、有限、非負值

d(P,Q) = 0 若且唯若 P = Q (即 P 與 Q 是同一個點)

d(P,Q) = d(Q,P)

d(P,Q) <= d(P,R) + d(R,Q) (其中 R 是異於 P, Q 的另一點,這一條件也叫做三角不等式)

 

測度張量

(ds)2 = Σ gij dxi dxj

gij不再是 單位矩陣 I ≡ δij ,事情開始變得有趣。

例如,差距是 ( Δt, Δx, Δy, Δz ) 兩個時空點,其 (狹義相對頓論下之) 世界線的距離是:

Δs2 = -c2 (Δt)2 +  (Δx)2 + (Δy)2 + (Δz)2

 

空間的平坦與彎曲

大家看過線的彎曲,能否想像面的彎曲及空間的彎曲?

空間也是可以有曲率的,如同一個面(曲面)可以有曲率的那樣。

愛因斯坦方程式超簡介

 

愛因斯坦在他的廣義相對論中提出,重力加速度與運動加速度是等效的(運動加速度會讓加速者看到光的彎曲,重力加也會),重力造成物體加速是因有質量的物質其週圍時空的曲率而造成。

 

水星進動與太陽背後的星光彎折(全日蝕才看得到)的預測,是此一理論的兩大勝利。

 

方程式的樣子如下:

G μν - Λ g μν = k T μν

上式的意思是

時空曲率 - 宇宙項 = 物質密度

其中 Λ是宇宙常數、k 是重力常數。媕Y為了營造出恆定宇宙(否則原方程式的解非膨脹即收縮),而設的扺消項。

1929 年在哈伯得到宇宙膨脹的證據時,愛因斯坦自稱這是他一生最大最錯誤。(有數據支持宇宙膨脹是加速之後,有人因此說,難到愛因斯坦的宇宙項終究還是加對了嗎?)

 

如何描述網格(網路)上的位置?是否存在像弧長那樣自然的表示法?