希臘的幾何成就
畢達哥拉斯定理：
問題：何謂畢氏定理？（作業：如何定義直角）
古中國叫"勾股弦定理"
古書中甚至轉述大禹因此治水成功，換用現代的語言，是應用數學原理成就精密的大型工程。
證明的方法很多，（但在此不採用三角函數的正餘弦定理 sin2θ + cos2θ = 1，這是因為這個三角函數的定理本身就是由畢氏定理證明出來的），以下介紹一個比之圖像化的證明。
（圖片出處：維基百科）http://zh.wikipedia.org/zh-tw/勾股定理
我們怎樣看畢氏定理？
多維度空間中長度的本質。即，長度與其投影在低維度裏的長度，它們之間有一定的關係。
誰不需要畢氏定理？
生存在一維空間中之智慧形式。
歐基里德：公設與證明
古希臘數學家歐幾里得的《幾何原本》提出了五條公設。頭四條公設分別為：
- 由任意一點到任意一點可作直線。
- 一條有限直線可以繼續延長。
- 以任意點為心及任意的距離可以畫圓。
- 凡直角都相等。
第五條公設說：同一平面內一條直線和另外兩條直線相交，若在某一側的兩個內角的和小於兩直角，則這兩直線經無限延長後在這一側相交。
是直尺與圓規的幾何
提前思考
平行線永不相交，問題在 什麼是「永不」嗎？還是 何謂「平行線」？
兩平行線最近距離可求，延伸 L 後，距離不變，將 L 趨近無窮。兩條直線，方向相同，謂之平行。
關鍵在什麼是「直線」?
（1）不彎，謂之直
（2）與線外參考點時時滿足勾股弦關係球面上如何定義直線？
思考：三角形的內角和為 180 度，四角形...、五角形...，有規則可循嗎？
奧依勒的多面體公式
v - e + f = 2
其中 v、f、e 各代表 "頂點 (vertex)"、"面 (face)"、"邊 (edge)" 的數目。
http://140.128.93.186/~chents/MG11
如何理解
雕刻家的觀點
思考三角錐頂點、四角錐頂點、. . . n 角錐頂點，在截去一角 ( v' = v - 1 + n ) 來增加了一個面 ( f' = f + 1) 時的結果：同時也增加了 n 個邊 ( e' = e + n )
（值得注意的是，上述截角的動作是可 逆的。 ）
可見 v' - e' + f' = v - e + f 會是常數
剩下的問題是，這個常數值是多少
考慮最簡單的四面體錐
1 + n = (n - 1) + ?
可見這個 "?" 是 2
一次截去兩個頂角可以嗎？試試看
一次切掉兩個頂點的情形
分析：假設切面與多面體相交的新斷面有 n 個頂點，
頂點：v' = v + n - 2 （產生了 n 個新頂點，但原本有兩個頂點被截掉了）
邊：e' = e + n - 1 （環狀 n 頂點圍出 n 個邊，但原截角兩個頂點間有一個邊少掉了）
面： f' = f + 1 （截角的動作，並未讓原面體的面有減少，反倒是多了一個截面）
如此，仍舊一樣是 v' - e' + f' = v - e + f
（其他的證明方式可見維基百科或科普書）
證明 : http://plus.maths.org/content/eulers-polyhedron-formula
補充：高維度公式
( http://www.math.osu.edu/~fiedorowicz.1/math655/HyperEuler.html )
Gauss-Bennet 定理
幾何與空間規律 (晶體與對稱性)
