相對論

 

對物理定律的期待

時時適用(古今)

現在學的定律,以後不能用?

 

處處適用(中外)

出國留學學的,回國竟不能用?

 

在運動中也對?

一定不對,不然剎車為什麼會跌倒(不是靜者恆靜嗎?)(平移運動)

甩水桶轉,水不落下(離心力);蘋果會掉下來(萬有引力),月球為什麼不會?(旋轉、轉動)

 

退一步,接受沒有運動(即靜止)時適用的規則作物理定律?

那,什麼叫做 "靜止"?

如果沒法定出那一個絕對靜止的座標系,則退而求其次,希望 (1) 了解同一物理定律適用(物理現象的表現可以不同)的一系列參考座標。並且 (2) 不同參考座標之間的現象,我們也可以精確轉換,也就是說,知道一的座標系中的現象大小,可以預測同一事件在另一個座標系被觀察到的大小。

 

怎樣關係的兩個不互相靜止的座標系,最符合同一物理定律的要求?

試想 f = maa 是加速度,為位置對時間的二次微分,座標系之間無相對加速度(僅相對速度)者,應該會看到同樣的 f = ma 公式,這可以從 x'(t) = x(t) + v t 的轉換,會給出一樣的 a 來了解。

 

慣性座標

慣性座標系:意指未加速的座標,等速移動的座標系都算是。

一個有用的物理定律,是具有在慣性座標系間轉換的不變性 (invariance) 的。例如牛頓運動定律之的 f = ma , 不管要用 x 的座標系還是 x' 的座標系來表示,只要它們都是無加速度的慣性座標系,也就是說 x 與 x' 之間的關係是用x = x' + vt ,則 f = ma 及 f' = ma' 這樣的形式在任何慣性座標都是一樣的(大家可以自己代代看)。

( Maxwell 方程比牛頓定律晚了200 年, 比伽利略晚 300 年。 )

伽利略與牛頓的時間與空間

那麼,在慣性座標系之間,與時間、空間有關的物理量如何轉換?以速度以例:

火車行駛時速五十公里、車上乘客靜在車廂內活動位置 x',則乘客對地面速度時速 v ,其對於地面的位置 x 可被表示為

x_ground = x_train + v_train * t

 

火車行駛時速五十公里、車上乘客向前以球速二十公里投擲棒球,則對於地面而言球速是時速七十公里。速度會相加的這回事,若從寫公式的角度而言,推導過程如下:

x_ball_ground = x_ball_train + v_train * t

其中

x_ball_train = x_ball_train_0 + v_ball_train * t

上式代入上上式得

x_ball_ground = x_ball_train_0 + v_ball_train * t + v_train * t

速率是位置隨時間變化

v_ball_ground = d x_ball_ground/dt = 0 + v_ball_train + v_train
= v_ball_train + v_train

也就是說

70 = 50 + 20

這有什麼好其怪的?

 

問題是,以上算法是根據 x = x' + vt 公式,而不是實驗的結果。(我們將會看到,即使進行實驗,只要 v 夠小 (什麼叫夠小待會說明) ,這個公式也是對的,人類不太有高速移動的經驗。)

 

 

 

電、磁與馬克斯威爾方程式

電磁學從最早有庫倫定律(靜止電荷量、力、距離的關係)、到高斯定律(電荷如何在空間中建立電場)、以及安培定律(固定電流產生固定磁場)、法拉第定律(變化的磁場導致電流產生),最後再由馬克斯威爾引入位移電流而整合成美麗的四條一組方程式,

從數學形式上告訴我們電與磁隨時間的變化會形成波動,且波速是固定的常數值,原因如下:

上面這個對時間偏微分兩次、這個空間也偏微分兩次的方程式,具有波動方程式的特徵。波速平方直接出現在係數中,但且慢,速度相加公式剛才才確認無誤,怎麼電磁波會不遵守?

馬克斯威爾方程式難到在不同慣座標系間並不具不變性?若如此要用這個公式還得先說明是要用在那一個參考座標系,不太可能吧?但是,若它具不變性,則電磁波在任何慣性座標系都是固定值,真是不可思議。

會不會因為是波而不是粒子,速度在不同慣性座標系之間的轉換轉就不是用加的?其實不會,基於古典物理,不同觀察者,對波之特性的描述可由都卜勒公式得到。

 

 

都卜勒聲學公式與 Maxwell 公式中的光速

靠近中的火車嗚笛音頻變高,遠離中的變低,這是因為聲源對傳聲媒介空氣作相對運動的結果。頻率公式如下:

其中 v、s、c 分別是聽者、聲源,及波的速度。

 

 

 

找尋以太(電磁波的傳播媒介)

馬克斯威爾一直認為有一種傳播電磁波的媒介,如同空氣之於聲音以及水面之於水波一樣。但最大的問題是,觀察不到其應有的效應。

 

補充:光速量測的歷史

 

Fizeau 實驗

光速在介質中是慢下來的 c / n,Fresnel 認為流動介質會進一步 部分地 影響通過它的光束之光速。他認為同方向移動介質(如流體)中的光速會是

而不是 V = c / n + v ,這樣他才能解釋為何地表周圍的以太似乎是靜止的,換言之,是因為 上式括號堛 1 - 1/n2 (即所謂的 Fresnel 拖曳係數 (drag coefficient)) 很小,本該加上的流速 v 之效應才沒有突顯到介質中光速 c / n 上 。 (另外,真空的折射率 n = 1,一般氣壓下空氣的折射率 n = 1.0003。)

 

1851 年 Fizeau 用干涉儀與鍍銀半透片進行了以下實驗 (詳見維基百科, 2),並 " 印證 "(僅 10% 誤差,見 參考資料)了 Fresnel 的假想,他真的量到了上式


觀念示意圖

 


裝置示意圖

在當時,此結果支持了以太的存在。(請注意,實驗並沒有量錯。事實上後有 Lorentz (1895) 提出更精密的公式,由 Zeeman (1914) 證實。從後世眼光看來,今天我們完全可以由相對論來理解這個現象。)

 

 

 

邁可森-莫利 (Michelson-Morley) 之導致確定的光速恆定實驗(有人說這最有名的失敗實驗)

1887 年,

可見光光波的波長非常短(3000 埃到 7000 埃),光速也很快,因此差一點點距離就可以在干涉條紋上看出來。地球有自轉及公轉,若以太在宇宙中是靜止,則地球對之有相對運動。當然還是有人懷疑地球周圍的以太可能被地球帶著走,像大氣一樣。但這想法並沒能提供有進一步證明或是反證的機會(然後相對論被實驗證實後,以太的不存在也就定案了)。

技術上,邁可森需要同一批光子(同調光)走互相垂直的兩個不同路徑。

Michelson-Morley 實驗裝置如下:

兩臂各長 11公尺,以大理石為底座,裝置浮在水銀上以減振,同時也可以轉動。

此實驗的分析

其分析如下:p1, p2, p3

結論是:,它們是不一樣的。

 

 

 

勞倫玆轉換 (閔可夫斯基 轉換)

荷蘭科學家 勞倫玆 在眾人想 "修正" 馬克斯威爾方程式不符合伽利略轉換時,發現了用下列方式組去轉換(轉換兩個不同的慣性座標系觀察者所描述的數據)的話, 馬克斯威爾方程式可保持原來的形式:

其中 β 是 v / c 。

 

為了解釋上述以太實驗似乎地球對其無相對速度增加的疑點,勞倫玆首先提出以太會讓長度約短的機制

如果它是真的,則套用在上述 M-M 實驗的結果上時

兩臂的結果就真的一樣了。

 

你可以想像,當時也有人認為這作法太人為了、不自然,應是權宜的作法。

 

愛因斯坦提出的相對論公設

慣性座標中物理定律形式不變

所有慣性座標中光速恆定

 

重要的新觀念:同時性(是相對而不是絕對的)

與牛頓、伽利略時空觀很不同的結果是,在相對論之下沒有 "同步時間流" 這一回事,因此兩個事件是否 "同時" 發生是取決於觀察者的相對速度狀態,而非絕對的。

(以下,我們要開始允許定義 t 與 t' 為不同)

 

從 愛因斯坦相對論 導出 勞倫玆轉換

(以下我們來看看,怎樣從愛因斯坦的相對論公設,來導出 勞倫玆轉換)

(a) 圖顯示的是一個閃光偵檢器組,以及垂直於運動方向固定距離的鏡子。整組裝置放在車上,車向右以 u 的速率移動。

在不喪失一般性的情況下,令地面歡察者的位置(也就是出發點處)是在 x = 0 。

同樣一個 "閃光、反射、偵測" 的過程,隨車觀察者看到的是 (a) 標為 primed (S') system;而地面 觀察者看到的則是 (b) 標為 un-primed (S) system

現在,隨車觀察者量得到過程時間 t' ,他要怎樣換算出地面觀察者量得到過程時間 t ?

利用兩個系統的光速是一樣的 (相對論公設)

c' = 2D / t'

c = 2 √[D2 + (ut/2)2] / t

c' = c

即得到

2D / t' = 2D √[1 + (ut/(2D))2] / t

t' = t / √[1 + (ut/(2D))2]

這媮晹 D,不過沒關係,D2 = (ct/2)2 - (ut/2)2,即 (2D)2 = (ct)2 - (ut)2

因此上式中 (ut/(2D))2 = u2t2 / (c2t2 - u2t2) = u2/ (c2 - u2),即

1 + (ut/(2D))2 =  1 + u2 / (c2 - u2)  = (c2 - u2 + u2) / (c2 - u2) = c2 / (c2 - u2) = 1/ [1 - (u/c)2]

 

t = t' / √[1 - (u/c)2]

 

t = t0 / √[1 - (u/c)2]

 

還有,也可以這樣推

2(ct'/2) = 2D

=> ct' = 2D

2 ( ct/2 ) = 2 √[ D2 + u2 (t/2)2]

=> c2t2 = 4D2 + u2t2

=> (c2 - u2) t2  = 4D2

=> √[c2 - u2]  * t = 2D

ct' = 2D = t *  √[c2 - u2]

=> t' = t * √[1 - (u/c)2]

=> t = t' / √[1 - (u/c)2]

 

(又另一種推導法)

對於靜止座標系中的觀察者看起來,光走的路徑是斜邊,它的長度若是與平移的部分來比,基於光速固定原則,是 c : u 的比例,也就是說,(基於畢氏定理)與垂直邊的長度比例是 c : sqrt( c2 - u2) 。現在靜止觀察者替移動觀察者想,這道光在移動座標系中走的不是 c 比例的長而是 sqrt( c2 - u2) 比例的長,而光線發射到偵測一樣是要滿足 dx2 - c2t2 = 0 的情況下,唯有 (靜止觀察者認為移動觀察者的) 時鐘變慢。

sqrt(c2-u2) t = c t'

t = t' / sqrt[ 1-(u/c)2 ]

 

重要結論 : 不只空間座標要轉換 ,時間的也要。

 

範例 : 車廂中間點向前後同時發球 車上觀察者認為 同時 到達,地面 觀察者認為 不同時 到達。(其他類似的有趣例子還很多)

 

 

座標、長度、時間、速度相加、質能互換

在靜止的觀察者看來,在動的動體或系統會:

長度縮短

時間膨脹 (Time Dilation)

利用畢氏定理,並認定光在任何慣性座標都是同一個值 c 。


(註 : 上圖中之 t 即 t0 也就是上一節式子的 t' )

質量增加

(一些專家主張只談 "靜止質量" 與 "相對運動下的動量",避免談這種隨速度改變之談相對質量。)

自動幫你試算的網頁 http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/relativ/tdil.html

 

速度相加公式

愛因斯坦推導出

有別於伽利略的

其中 c 是光速。

 

質能互換

E = m c 2

此式的推導,要從動量-能量關係

考慮出發,詳請下:

(一個幫助你想像 能量與質量為何是等效、能互換的圖像,基於愛因斯坦早期講課時的思考式實驗推導,利用光子,見 連結

 

新的動量與能量公式

動量

不再是 p = m v ,而是

p = γ m u

其中 u 是某觀察者看到的速度,而 m 永遠指的是靜止質量。這樣定才能滿足動量相關定律(如動量守恆)在相對論中對所有觀察者定律不變。

 

Halliday 課本教法如下:需重新定義動量,以使動量守恆定律適用於不同相對速度的觀察者:

p = m × 觀察者座標系中之距離 / 靜止座標系中之時間 = m Δx / Δt0

 

力的正確公式是

F = d p / d t 

(不能再用 F = m a,即使有所謂的相對性質量 mr,也不能直接把 mr 代入 F = mr a ,Giancoli 叮嚀)

( 為什麼一定要這樣定 ? 重 4-vector, 4-velocity, 4-momentum 一路推廣 <它們被要求滿足 勞倫茲 / 明可夫斯基 轉換> 就很清楚 )

 

能量

先只考慮動能(位能在此無關),本來是 1/2 m v2,但在相對論下,動量定義已經不同,

 

能量公式的推導

W = ∫ F dx = ∫ dp/dt dx

其中 dp / dt = d(γm u) / dt = m/[(1 - v2/c2)(3/2)] dv/dt

(積分過程見維基百科 連結,其中利用了 四維動量 的不變性)

功-動能定理繼續適用,即 ΔK = W ,則得

K = (γ-1) m c2

E  = γm c2

上式 E 是相對論下之總能

 

動量-能量關係

非相對論下 E = p2 / 2m ,在相對論下

由於 E = γm c2 、p = γm v,而有

E2 = p2 c2 + m2 c4

請注意這個式子中沒有 γ、β 等相對速度有關的量,上式是一個滿足不變性的方程式。其中

m2 c4 = E2 - p2 c2 或 m2 = (E / c)2 - p2 是一個座標轉換不變量。

 

最有名的物理公式

上式 E2 = p2 c2 + m2 c4 ,在靜止的狀態(或座標系) v = 0 ,故 p = γm v = 0

得 E2 = m2 c4,即

E = m c2

 

E = m c2 最早是怎麼得到的?

愛因斯坦最早發現這關係的情況,是當他寫下 相對論動能,而要求當速度遠遠小於光速時,應該要看到 (1/2) m v2 的牛頓力學形式。他的確是有看到,但卻還多了一個與質量有關的常數項 mc2 。 物理中最有名的公式於是被發現。

 

 

採用數學(幾何)的語言:轉時間軸

轉動一向量其長度保持,只是參考座標的不同。換句話說,兩者都靜止,只是各自座標系方向定位不同,則一個旋轉就可以把兩者關聯起來。

至於有相對速度的時候,若是速度可直接加成的伽利略時空,則只是作 x' = x + vt 這種修改而已。然而,現在我們知道,要滿足長度會縮短的那個才是符合相對論的要求。我們必須要採行一種新的轉換方式,才能現表出像長度約縮及時間延遲(膨脹)這些現象。

 

這就導致了定義 明可夫斯基 (Mikowski) 空間,而 Lorentz 轉換的位階就成了該空間中的一種旋轉。維基百科上有清楚的進一步說明:http://en.wikipedia.org/wiki/Introduction_to_special_relativity

在定義了 Minkowski 時空中之 "距離" 是 s2 = x2 +y2 + z2 - (ct)2 的情形下,問怎樣的轉換對於在此一新距離定義下的在兩個不同速度的觀察者而言,該距離都是不變的,則自然就會導出 Lorentz 轉換公式。

Roger Penrose 說是 Minkowski 時空(spacetime)的觀念提出之後,愛因斯坦相對論的架構才算完成,可見其重要性。

 

 

所以空間列底是三度還是四度?(有什麼差?)

住在交錯榕樹鬚上的螞蟻

住在桌面上之螞蟻(體悟到平面上之二維轉動公式而知道它所處的是平面新世界)

住在海邊岩石縫中的小蝦(可以感受到潮汐,但從未能知道太陽從固定的一邊昇上來。)

人類一時不察。因為我們自己移動的速度比起光速而言很慢。

 

 

時間、空間;初始條件、邊界條件

如果空間的邊界條件可以是無邊界條件(沒有邊緣),時間也可以像空間那樣彎起來嗎?

 

 

光及光的速度那麼特別嗎(這不是近代物理,仍是當前問題)

光到底是什麼東西?

原來光速是的時空結構的一部分。

那東西與光有什麼關係?

原子中的原子核與電子之間,是電磁作用力束縛在一起的。

那為什麼其他的所有東西速度不是光速、且也不固定?

其他東西有質量,其速度視動能而定。

是不是所有無質量的東西(基本粒子)都只有一種速度,就定是光速?

根據相對論的要求的確必須這樣(想想質量增加的公式)

那(靜止)質量是什麼?

是來自與希格斯粒子交互作用嗎?LHC 強子對撞機 2009 年啟用,想找答案的第一個線索(粒子碎片)。

 

 

狹義相對論的印證與應用

beta-射線在磁場中彎折的角度,與質量 (或"動量"較妥) 有關

飛機上的鐘走得比地上慢

全球衛星定位糸統(衛星導航)- GPS 原子鐘

原子堛漯韖速的電子

相對論量子力學-電子自旋的發生

 

http://library.thinkquest.org/27608/scripts/aview.php3?id=40

 

 

各種有趣的悖論

相對論的結果由於與人們日常生活經驗有差距,因而引發了觀念上看似矛盾的 "推論"(所謂的thought experiment):

 

Twin paradox

雙胞胎一個在地球一個乘火箭去旅行,....

矛盾點:太空(高速)旅行回來,兩個都比對系年輕,矛盾。

解釋:坐太空船的,要折返回來的那一個較年輕,分別從地球觀點與太空船球觀點皆如此。

 

Ladder paradox (barn-pole paradox)

     

http://en.wikipedia.org/wiki/Ladder_paradox (要注意同時性是相對而非絕對的)

(另外,不存在絕對剛體 這處促使我們重新認識 "物質" 與 "空間" 之間的關係)

 

電與磁的進一步關係

電流產生磁力,也可看成電荷有速度而導致勞倫茲縮短,密度提高所導致的電力! (磁就是電)

(那靜止座標系看到的磁現象怎麼解釋?帶電體的自轉角動量。)

 

 

狹義相對論的電腦模擬

時間膨脹與長度縮短的動畫演示

http://www.phys.unsw.edu.au/einsteinlight/jw/module4_time_dilation.htm

 

Open Source Physics 上有很多 JAVA 寫成的物理觀念及體會的動畫模擬,其中也有一些是關於相對論的,大家可以玩玩看。

 

網路上的資源

http://www.phys.unsw.edu.au/einsteinlight/index.html

 

 

 

 

 

 

 

廣義相對論:重力(質量)與時空 [公式簡介]

 

非歐幾何(用於描述不是平坦的空間)

 

微分幾何(局部仍是平滑的變化,像是可使用微分的場合時那樣)

 

空間的度量

度量 matric 是將向量求出長度值的算子,如二度、三度歐氏空間的是簡單的單位矩陣 I。它是張量的形式因此又叫 metric tensor。

 

(兩點間路徑最短的不再是直線)

三角形內角和也不再是 180 度

四次走固定距離再向左轉會走回位,方向也同,這是平坦空間。(三次就轉回來了的範例)

 

重要的訊息是,它表現在大尺度上與平坦空間有差異,而小範圍內仍是平坦的。

 

中心理論:

一、質量將造成時間空間彎曲

 

二、重力造成與座標系運動造成的加速度是等效的

牛頓的萬有引力公式其效果是瞬間發生、不論兩物相距多遠,這是徹底違反相對論的。

牛頓式的"重力"是不存在的。但,重力若不存在,使蘋果掉下及把月球拉著的效果是怎麼本的?

愛因斯坦主張,下列左右兩種狀況中的質量球,都沒有受到外力,兩者都正在進行慣性運算(等速直線,靜止也算)。

先看右圖,球體與外界無接觸也不受力,但由於火箭向上加速中的關係,艙內觀察者產生了一個球體向下加速的錯覺,其實球體並未受任何力,而且是以慣性方式等速直線運動。這一點,在艙外的我們看得非常清楚。

接下來看左圖中地球對質量球的影響,愛因斯坦堅稱球仍未受力而是僅循慣性的規則而運動。只不過此時球體所在的空間受地球質量的影響而彎曲,以致於其慣性運動在我們看會有加速度的"假象"。

Q : 空間既然彎曲,為何當我們順著月球的中球畫出其對地球公轉的軌跡,仍可看得出是一個曲線而非直線?

A : 應是最短距離線, 在幾何學上又稱為測地線 (geodesic line)。

 

廣義相對論的印證

水星近日點 (perihelion) 進動

什麼是進動?

 

重力透鏡

理應是運行到在太陽背後的天體(恆星)都還看得到(需要利用日蝕時觀察),愛丁頓爵士 1919 年組成日蝕觀察團到赤道附近去等全日蝕而得以確認,彎折的角度符合愛因斯坦的預測,成為當日全球報紙的頭條。(這個現象對黑洞也適用。)

 

重力紅位移(詳見:http://zh.wikipedia.org/zh-tw/重力紅移)

由於 "引力時間膨脹" ,來自重力較大的地方的光線,在重力較小的區域被觀察到,頻率變小波長變長,因為重力大的地方時系較慢的緣故。

更詳細的資料可見 http://en.wikipedia.org/wiki/Tests_of_general_relativity

 

 

 

 

時間的初始條件 與 空間的邊界條件

霍金的 "時間簡史 (A Brief History of Time)"

引人入勝的書名(歷史以時間為座標軸,如何談時間的歷史?)

 

沒有邊界的邊界條件 vs 沒有初始的初始條件

如果時間與空間是一體的,那麼時間 ...

(另一假說:兩片高次元膜的撞擊)