基礎應用數學 各週進度
| 週次 | 一 (2) | 二 (3) | 二 (4) | 章別 |
|---|---|---|---|---|
| 第 1 週 | 課程簡介 | 向量的定義與基本代數運算 | 座標變換、向量微分、曲線、軌道(選) | 向量 |
| 第 2 週 | 梯度、散度、旋度、常用公式、正交（球、柱）座標系 | 向量積分：高斯定理與連續方程式 | 司鐸克斯定理、格林定理與其他； |
向量 |
| 第 3 週 | 張量的來源、定義與範例、協變、反協變 | 測度張量、黎曼空間、測地線 | 協變微分 | 張量 |
| 第 4 週 | 一階常微方：分離變數、正合方程式、積分因子(範例) | 常係數二階常微方：通解、 存在性（朗氏根）、補函數 | 特殊解、D 算子、奧依勒線性方程(略) | 常微方 |
| 第 5 週 | 級數解、傅羅貝尼亞斯法 | 同時方程式、Γ 與 β 函數 | 初始值問題與邊界值問題、數值解淺論 |
常微方 |
| 第 6 週 | 矩陣的定義、特性、規則 (第二次預習小考：矩陣) |
矩陣代數、反矩陣求法 | (轉動)正交、厄米特矩陣 | 矩陣 |
| 第 7 週 | (座標)正交、么正、相似轉換 | 本徵值問題與矩陣對角化 | 慣量矩與 normal mode 問題 | 矩陣 |
| 第 8 週 | 保留 / 緩衝 | 函數正交性與富利葉級數 | Gibbs 現象、 振動弦、RLC 迴路 | 富利葉 |
| 第 9 週 | 富利葉積分與富利葉轉換 | δ函數、捲積定理、 | 格林函數 (保留) | 富利葉 |
| 期中考 | ||||
| 第 11 週 | 線性向量空間簡介與基本觀念複習 | 期中考檢討 | 期中考分數申訴更正 | 線空間 |
| 第 12 週 | 基底(函數)、維度、線性組合、向量(函數)空間 | 內積空間、正交化過程、(歌西舒--瓦玆)三角不等式 | 向量與線性算子的基底與表象 | 線空間 |
| 第 13 週 | 算子的代數與本徵值問題 | 一些特殊的算子（逆、伴、厄米特、么正、投影） | 基底變換、對易算子、函數空間 | 線空間 |
| 第 14 週 | 預習小考：變分學 | 不固定的軌跡、 Euler-Lagrange 方程式 |
約制條件下的變分學問題 | 變分學 |
| 第 15 週 | Hamilton 原理與 Lagrange 運動方程式、Ryligh-Ritz法 | Hamilton's 原理與 正則 (canonical) 運動方程式 | 修正的 Hamilton 原理、Hamilton-Jacibi 運動方程式、多變量變分學 | 變分學 |
| 第 16 週 | 排序、插值、作圖、 | 微分、積分 | 解微分方程 | 數值法 |
| 第 17 週 | 機率、取樣、排列組含、機率分佈函數、中央極限定理 | 隨機變數、平均值、變異數、標準差、常態分佈、曲線擬合 | 二項式、泊松、高斯、馬克斯威爾--波玆曼分佈 | 機率論 |
| 期末考 | ||||
向量與張量分析（三週）
前言：什麼是向量？為何用向量？ (H 1)
向量與純量
方向角與方向餘弦
向量代數
相等
相加
乘係數
內積
外積
純量三重積
向量三重積
座標變換 (H 2)
線性向量空間 Vn
向量微分
空間曲線
平面運動
軌道問題(選)
向量微分 (H 3)
純量場微分與梯度
保守向量場
向量微分算子 ∇
向量場的向量微分
散度
∇2
旋度
常用公式
正交曲線性座標系
常用正交座標系
柱座標系
球座標系
向量積分與積分定理
高斯定理與連續方程式 (H 4)
司鐸克斯定理、格林定理與其他 (H 5)
Helmholtz 定理
一些有用的積分關係式
張量的定義、實例與張量分析 (H 6)
協變、反協變向量
二級張量
張量間的基本運算
商律
線段元素與測度張量 (H 7)
附屬張量
黎曼空間裏的測地線
協變微分(H 8)
向量、張量總結：物理定律的不變性
常微分方程式（兩週）
一階問題 (Hour 1)
分離變數 (及範例)
正則式 (及範例)
積分因子 (及範例)
伯努力方程 (略)
二階問題（常數係數）(Hour 2)
齊次、非齊次
線性方程式組的通性：朗氏根行列式
找補函數
與特解的規則(Hour 3)
算子 D
奧依勒線性方程 (略)
級數解 (Hour 4)
傅羅貝尼亞斯法
同時方程式、Γ 與 β 函數 (Hour 5)
初始值問題與邊界值問題 (Hour 6) (選)
數值解淺論
矩陣代數（三週）
前言：從線性方程組與轉動談起 (Hour 1)
矩陣間的基本運算
相等
相加
乘上一個係數
相乘
範例：轉動
結合律與分配律成立，證明
線性轉換與矩陣運算的淵源
更多矩陣操作
行列式 (Hour 2)
3x3、nxn 求法、一般性定義 (Appendix II)
對易式
冪次
矩陣的函數
矩陣的轉置
定義
(AB)T = BTAT 、證明
對稱與 skew-對稱矩陣
兩對稱矩陣相乘未必對稱
向量積的矩陣表法
反矩陣 (Hour 3)
求反矩陣的一種方法
Gramer's rule
補充：高斯消去法複習
線性方程式組求解與反矩陣
取共軛複數
Hemitian 共軛
Hemitian 及 anti-Hemitian 矩陣
(實數)正交矩陣 (Hour 4)
么正矩陣
轉動矩陣
矩陣之 trace 與其意義
正交轉換與么正轉換 及其守恆量
相似轉換 及其守恆量
矩陣本徵值問題與解法 (Hour 5)
Hemitian 矩陣的本徵值與本徵向 量
矩陣對角化
對易矩陣的本徵值
Cayley-Hamilton 定理
轉動慣量（慣量矩）(Hour 6)
振動 的 Normal Modes
矩陣的 Direct Product
富利葉級數與積分（一週半 or 兩週）(應數會教)
前言：三角函數的正交性 (Hour 1)
週期函數
富利葉級數；奧依勒--富利葉公式
Gibbs 現象
富利葉級數的收斂性以及 Dirichlet 條件
半區間富利葉級數
變換積分區間
Parseval's 恆等式
富利葉級數的其他型式
富利葉級數的積分與微分 (Hour 2)
振動弦
橫波振動的運動方程式
波動方程式的解
RLC 迴路
正交函數
多重富利葉級數
富利葉積分與富利葉轉換 (Hour 3)
富利葉正弦與餘弦轉換
海森堡測不準原理
波包與群速度
藉由要求 modulated 波之部分的相位固定，x' = (Δω/Δk ) t，故有 vg = dx/dt = Δω/Δk → d ω/ d k導熱問題
多變量函數的富利葉積分
富利葉積分與δ函數 (Hour 4)
富利葉積分的 Paerseval's 恆等式 (identity) 及其用處
捲積定理
導函數的富利葉轉換
δ函數與格林函數方法
線性向量空間（三週）
n 維 歐氏空間 En
廣意線性向量空間
線性組合
線性獨立、基底、維度
內積空間
Gram-Schmidt 正交過程
Chaucy-Schwarz 不等式 (兩點的距離)
dual 向量與dual 空間
線性算子
算子的矩陣表象
線性算子的代數
算子的本徵值與本徵向量
一些特殊算子
inverse 逆 (反) 算子
adjoint 伴 (伴隨) 算子
Hermitian 算子
Unitary 算子
投影算子
基底變換
對易之算子
函數空間
變分學（兩週）
不固定的軌跡
Euler-Lagrange 方程式 *
約制條件下的變分學問題
Hamilton's 原理與 Lagrange 運動方程式
Ryligh-Ritz 方法
Hamilton's 原理與 正則 (canonical) 運動方程式
修正的 Hamilton's 原理與 Hamilton-Jacibi 運動方程式
多個獨立變量的變分學
數值方法（一週）
程式
作圖
插值
求根
積分
解微分方程
(亂數)
反矩陣、行列式值
本徵值與本徵向量
機率論簡介（一週）
機率與取樣
排列組合
隨機變數
平均值、變異數、標準差
常態分佈
曲線擬合
二項分佈
泊松分佈
中央極限定理
Mxwell-Boltzman 分佈
課程簡介
本課程介紹物理系大二（及部分大三）各專業科目所需要的數學。
This course offer students introductory mathematics needed for second (and partly third) year Physics majors curses.
論數學解決問題（非研究數學）的功力
抽象思考、異中求同
運用數式、建立模型
歸類問題、掌握條件（數學問題之確立）
知曉解法、預期結果（知道如何下手求解）
技巧解題、獲得答案